2020届黑龙江省哈六中高三上学期期末考试数学（文）试题

页 1 第 哈尔滨市第六中学校哈尔滨市第六中学校 20192019- -20202020 学年度上学期期末学年度上学期期末 高三文科数学高三文科数学 考试说明：考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分 钟 （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2） 选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字 迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀 参考公式：参考公式： 柱体体积公式ShV ，其中S为底面面积，h为高；锥体体积公式ShV 3 1 ，其中S为底面面积，h 为高. 第卷（选择题第卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给分在每小题给出的四个选项中，出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的只有一个是符合题目要求的 1.已知复数 i i z 1 ，则 | z（ ） . A2 .B 2 2 .C 1 .D2 2.已知集合02| 2 xxxA，集合2 , 1 2 1 , 0 , 1，B，则集合BA的子集个数为 （ ） . A 1 .B 2 .C4 .D8 3.已知向量ba,满足2|baba，则|ba（ ） . A72 .B 2 .C 52 .D32 4.已知函数x x xfsin1 2 cos2)( 2 ，则函数)(xf的最小正周期和最大值分别为 （ ） . A和1 .B和 2 1 班级 装装 订订 线线 考号 姓名 页 2 第 .C2和1 .D2和 2 1 5中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减 一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其意思为：有一个人要走 378 里路，第一天 健步行走， 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半， 走了 6 天后到达目的地， 请问第二天走了 （ ） . A24 里 .B 48 里 .C96 里 .D192 里 6.已知函数xxxf ln)(，则函数)(xf在1x处的切线方程为（ ） . A012 yx .B 012 yx .C 02 yx .D 012 yx 7.设函数 0, 12 0,log )( 3 x xx xf x ，若2)(af，则实数a的值为（ ） . A9 .B 0或9 .C 0 .D 1或9 8.已知双曲线1 324 : 22 yx C的左右焦点分别为 21,F F， 点P是双曲线C右支上一点， 若| 221 PFFF， 30 21F PF,则| 1 PF的长为（ ） . A324 .B )63(2 .C832 .D632 9.若数列12 n a是等差数列，其公差1d，且5 3 a，则 10 a=（ ） . A18 .B 2 17 .C 2 19 .D12 10.已知三棱柱 111 CBAABC，棱 1 AA面ABC，ABC是边长为 2 的等边三角形，且4 1 AA，点M 是棱 1 AA的中点，则异面直线CM与AB所成角的余弦值为（ ） . A 4 1 .B 2 1 .C 4 2 .D 4 3 11.已知圆1: 22 yxO,过直线02: yxl上第一象限内的一动点M作圆O的两条切线，切点分别 为BA,过BA,两点的直线与坐标轴分别交于QP,两点，则OPQ面积的最小值为（ ） . A1 .B 2 1 .C 4 1 .D 8 1 12.已知函数xxaxxfln2)( 2 存在极值，若这些极值的和大于7，则实数a的取值范围为（ ） . A )4, 52( .B ), 4()4,( .C)52 , 4()4, 52( .D)4,( 页 3 第 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 9090 分）分） 本试卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在机读卡上相应的位置 13.已知0x，则 x xx4 2 的最小值是 ； 14.某班随机抽查了BA,两组各 10 名学生的数学成绩，分数制成如图的茎叶图， 试比较BA,两组学生的平均分 A x B x； （用“”或“”或“=”连接） 15.已知抛物线xyC4: 2 的焦点为F，倾斜角为 3 的直线l过点F，且与抛物线C交于BA,两点，则 AOB的面积为_； 16.水平放置一个底面半径为 20cm，高为 100cm 的圆柱形水桶（不计水桶厚度） ，内装高度为 50cm 的水， 现将一个高为10cm圆锥形铁器放入水桶中并完全没入水中(圆锥的底面半径小于20cm),圆柱形水桶的水面 高度上升了 2.5cm,则圆锥形铁器的侧面积为_ 2 cm. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 在ABC中，设边cba,所对的角分别为CBA,， cb a C A 2cos cos . （）求角A的大小； （）若, 2bABC的面积为32，求a的值. 18.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 在三棱锥BCDA中，G是ACD的重心，AB平面BCD，且F在棱AB上，满 足FBAF2，22, 2CDBDBCAB， （1）求证：/GF平面BCD； （2） 求三棱锥BCDG的体积. 页 4 第 19.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 2020 年哈尔滨市第六中学为了响应市政府倡议的“百万青少年上冰雪”活动的号召.开 展了丰富的冰上体育兴趣课，为了了解学生对冰球的兴趣，随机从该校高三年级抽取了 100 名学生进行调查，其中男生和女生中对冰球运动有兴趣的人数比是 3: 2，男生有 15 人对冰球没有兴趣，占男生人数的 3 1 . （1）从被调查的对冰球有兴趣的学生中抽取男生 3 人，女生 2 人，再从中抽取 2 人，求 抽到的都是女生的概率. （2）完成22联表， 并回答能否有%90的把握认为 “性别与对冰球是否有兴趣有关” ？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 女 合计 附表： 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K ，其中dcban 20. .（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 考号 页 5 第 已知函数)0( , 2)2(ln)( 2 axaxaxxf （1）讨论函数)(xf的单调性； （2）若函数xxaxfxgln)()()(在 e e , 1 上有两个零点，求a的 取值范围. 21.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 在平面直角坐标系中，已知动点M与到定点）（ 0 , 1F距离到定直线2x的距离比为 2 2 . （）求动点M轨迹C的方程； （） 过点F的直线l交轨迹C于BA,两点， 若轨迹C上存在点P， 使OBOAOP 2 3 , 求直线l的方程. 班级 装装 订订 线线 姓名 页 6 第 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分 22.22.（本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 1 C的参数方程为 sin cos1 y x （为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为sin32. （）写出曲线 1 C的极坐标方程，并求出曲线 1 C与 2 C公共弦所在直线的极坐标方程； （）若射线）（ 2 0 与曲线 1 C交于AO,两点，与曲线 2 C交于BO,两点，且2|AB，求 的值. 23.（本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 选修 45：不等式选讲 设| 1 |)( a xaxxf（0a） （）证明：2)(xf； （）若3)2(f，求a的取值范围. 页 7 第 期末文数答案 一、选择题 ACDBC ABDBC BA 二、填空题 13.3 14. 15. 3 34 16. 2 )(3200cm 三、解答题 17.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 解： （1）由正弦定理可得： CB A C A sinsin2 sin cos cos 0cossincossinsincos2CAACBA 0sincossin2BAB3 分 0sin), 0(BB4 分 , 2 1 cosA5 分 3 2 A6 分 （2）将 3 2 A，322Sb，代入AbcSsin 2 1 可得4c9 分 由余弦定理可得72a12 分 18.18. （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） （1）证明：连接FG，连接AG并延长交CD于点E，连接BE， G是ACD的重心，GEAG2，又FBAF2 ， BEGF / 2 分 又FG平面BCD，3 分 且BE平面BCD4 分 /GF平面BCD6 分 由（1）可知/GF平面BCD，所以 BCDFBCDG VV 8 分 且 AB平面BCD，FB 为三棱锥 BCDF 的高， 3 2 2 3 1 |FB9 分 则 222 2 1 BCD S10 分 9 4 2 3 2 3 1 BCDFBCDG VV12 分 19.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 解： （1）设“抽到的都是女生 ”为事件D1 分 不妨设 3 个男生分别是： 321 ,nnn，两个女生分别为： 21,A A 从中任选两人有： 21,n n， 31,n n， 11,A n， 21,A n， 32,n n， 12,A n， 22,A n， 13,A n， 23,A n， 21,A A 共 10 种，3 分 其中都是女生： 21,A A共 1 种， 则 10 1 )(DP4 分 （2）男生总数：45315人，男生中有兴趣的301545人5 分 页 8 第 女生中有兴趣的20 3 2 306 分 有兴趣 没兴趣 合计 男 30 15 45 女 20 35 55 合计 50 50 100 8 分 2 2 100(30 3520 15)100 9.0912.706 50 50 45 5511 K 11 分 有%90的把握认为“性别与对冰球是否有兴趣有关”12 分 20.20. （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） （1） x xax a x a xxf ) 1)(2( )2(2)( 1 分 当20 a时，)(xf的单调增区间为), 1 (), 2 , 0( a ； 减区间为) 1 , 2 (a2 分 当2a时，)(xf的单调增区间为), 0( ，无减区间；3 分 当2a时，)(xf的单调增区间为), 2 (),1 , 0( a ；减区间为) 2 , 1 ( a 4 分 （2）2)2(ln)( 2 xaxxxxg，02)2(ln 2 xaxxx将变量与参数分开 得： x xxa 2 ln25 分 令 x xxxh 2 ln)( x xx x xx xx xh ) 1)(2(221 1)( 2 2 2 ，6 分 可得)(xh的单调减区间是) 1 , 1 ( e ，单调减区间是), 1 ( e，即1x是极小值点（需列表） 8 分 e eeh e e e hh 2 1)(, 1 12) 1 (, 3) 1 (9 分 ) 1 ()( e heh10 分 e ea 2 123 即 e ea 2 1112 分 21.21. （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 解 （） 设）（yxM,因为，M到定点）（ 0 , 1F的距离与到定直线2x的距离之比为 2 2 ， 所以有|2|xMF2 分 代入得1 2 2 2 y x 4 分 页 9 第 （）由题意直线l斜率存在，设),(),(),1(: 2211 yxByxAxkyl （2）联立方程得， ) 1( 1 2 2 2 xky y x ，0124) 12( 2222 kxkxk，0恒成立 12 22 12 4 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx ，-5 分 OBOAOP 2 3 ,所以, 2 3 , 2 3 2121 yyyxxx pp 代入椭圆有2 2 3 2 2 3 2 21 2 21 ）（）（yyxx，又22 2 1 2 1 yx，22 2 2 2 2 yx6 分 得223 4 9 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 ）（）（）（yyxxyxyx 02 2 3 2121 yyxx，9 分 得02)(212 2 3 2 21 2 21 2 kxxkxxk）（ 代入得 6 1 2 k11 分 直线方程l：) 1( 6 6 xy12 分 22 （本小题满分（本小题满分 1010 分）分）解： （）曲线 1 C的极坐标方程为cos22 分 sin32，