2020届江苏省扬州市高三上学期期末检测数学（理）试题

第页 1 扬州市扬州市 2020 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试 数学数学理科理科 一、填空题： 1.已知集合1,2 ,2,4AkB，且 2 ,AB则实数 k 的值为 2.设 2 1 3iabi，则 a+b= 3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为 90 的样本。 在高一抽 40 人，高二抽 30 人，若高三有 400 人，则该校共有 人 4.右图是一个算法流程图，如输入 x 的值为 1，则输出 S 的值为 5.已知 ,aR则“0a ”是“( )2 (sin )f xx ax”为偶函数的 条件 6.若一组样本数据 21,19，x,20,18 的平均数为 20，则该组样本数据的方差为 7.在平面直角坐标系xOy中， 顶点在原点且以双曲线 2 2 1 3 y x 的右准线为准 线的抛物线方程是 8.已知( , )|4,0,0 ,( , )|2,0,0 x yxyxyAx yxyxy ，若向区域上随机 投掷一点 P，则点 P 落在区域 A 的概率为 9.等差数列 n a的公差不为零， 12 1,aa是 1 a和 3 a的等比中项，则 159 246 aaa aaa 10. 已 知 定 义 在 （ 0,） 上 的 函 数( )f x的 导 函 数 为() ,fx且( )( )0 xfxf x， 则 (1)(1) ( 3 ) 3 xfx f 的解集为 11.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，圆台的高为2 3cm，母线与轴的夹角为30， 则这个圆台的轴截面的面积等于 3. cm 12.已知函数 13 ,1 ( ),22 ln ,1 xx f x x x 若存在实数, ()m n mn满足( )( )f mf n，则2nm的取值范 围为 13.在ABC中，若sincos2,BB则 sin2 tantan A BC 的最大值为 14. 在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆 2 2 :11Cxy上两点，且2AB ，点 P 的坐标 为（2,1） ，则2PAPB uu u ruuu r 的取值范围为 第页 2 二、解答题： 15.已知 2 ( )2 3sincos2cos1.f xxxx （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2）若(0,) 6 3 ,( ), 2 f x 求sin2的值。 16.如图，ABC是以BC为底边的等腰三角形，,DA EB都垂直于平面ABC，且线段DA长度大于 线段EB的长度，M是BC的中点，N是ED的中点。 求证： （1）AM 平面EBC； （2）/ /MN平面DAC。 17.如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图， 2 . 3 AOB 原有观光道路OC,且OCOB。 为便于游客观赏， 景点 2 部门决定新建两条道路 PQ,PA,其中 P 在原道路 OC(不含端点 O,C)上， Q 在景点边 界 OB 上， 且 OP=OQ,同时维修原道路 OP 段。 因地形原因， 新建 PQ 段、 PA 段的每千米费用分别是2a万 元，6a 元，维修 OP 段的每千米费用是 a 万元。 （1）设,APC求所需总费用( )f，并给出的取值范围； （2）当 P 距离 O 处多远时，总费用最小。 18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，右准线的方程为 第页 3 4x ， 12 ,F F分别为椭圆 C 的左、右焦点，A,B 分别为椭圆 C 的左右顶点。 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过 T(t,0)(ta)作斜率为 k(k0)的 直线 l 交椭圆 C 与 M,N 两点（点 M 在点 N 的左侧） ， 且 12 / /.FMF N设直线 AM，BN 的斜率分别为 12 ,k k，求 12 k k的值。 19.已知函数( )(ln1), ( )( ,).f xxxg xaxb a bR （1）若1a 时，直线( )yg x是曲线( )f x的一条切线，求 b 的值； （2）若, b e a 且( )( )f xg x在 ,)xe上恒成立，求a的取值范围； （3）令( )( )( )xf xg x，且( )x在区间 2 ,e e上有零点，求 2 4ab的最小值. 20.对于项数为(*,1)m mNm的有穷正项数列 n a，记 12 min,(1,2,) kk ba aakmLL， 即 k b为 12 , k a aaL中的最小值，设由 12 , m b bbL组成数列 n b称为 n a的“新型数列”. （1）若数列 n a为 2019,2020,2019,2018,2017，请写出 n a的“新型数列” n b的所有项； 第页 4 （2） 若数列 n a满足 10 1 ,6, 2 22,7, n n n a n n 且其对应的 “新型数列” n b的项数21,30m， 求 n b 的所有项的和； （3）若数列 n a的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的 n a及其对应的“新 型数列” n b. 中小学数学教育共同体祝广大师生寒假快乐！中小学数学教育共同体祝广大师生寒假快乐！ 附加题附加题 21.已知矩阵 2 1 0 1 M （1）求矩阵M的特征值及特征向量； （2） 2 1 u r ，求 3 M u r . 22.在极坐标系中，已知点,M N的极坐标分别为(2,) 2 ， 7 (2 2,) 4 ，直线l的方程为 3 . （1）求以线段MN为直径的圆C的极坐标方程； （2）求直线l被（1）中的圆C所截得的弦长. 第页 5 23.甲、乙两人采用五局三胜制的比赛，即一方先胜，则三局比赛结束.甲每场比赛获胜的概率均为 2 3 . 设比赛局数为X. （1）求3X 得概率； （2）求X的分布列和数学期望. 24.已知数列 n a满足 * 1 1 2() n n anN a