2020届安徽省黄山市高三毕业班第一次质量检测（一模）数学（理）试题

页 1 第 B A C x y Ox y Ox y O x y O D 黄山市黄山市 20202020 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测 数学（理科）试题数学（理科）试题 本试卷分第卷（选择题 60 分）和第卷（非选择题 90 分）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分 钟. 注意事项： 1答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条 形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号 后两位. 2答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3答第卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡 上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图 题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号 所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效 ，在试题卷 、草稿纸上答题无效 . 4考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 参考公式：参考公式：球的表面积公式 2 4SR 球的体积公式 3 4 3 VR 第卷第卷（选择题 满分 60 分） 一、一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的请在答题卷的相应区域答题 .） 1. 已知复数z满足izi3)1 (,则 |z| A. 5 B. 3 C. 5 D. 3 2. 设UR，A|04 2 xxx，B|1xx，则() U AC BI A40 xx B41 xx C40 xx D41 xx 3. 已知 0.3 2a ， 2 0.3b， 0.3 log2c ，则 Abca Bbac Ccab Dcba 4. 函数 cos sin 2 x x y 的大致图象为 5. 裴波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多裴波那契以兔子繁殖 为例子引入，故又称为“兔子数列” ，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列 n a满足： 1 21 aa， 12 nnn aaa，现从该数列的前 40 项中随机抽取一项，则能被 3 整除的概率是 A. 4 1 B. 3 1 C. 2 1 D. 3 2 6将向量(1,1)OA uuu r 绕原点 O 顺时针方向旋转 75 得到OB uuu r ，则OB uuu r 页 2 第 A 2 2 2 6 , B 2 6 2 2 , C 2 2 2 6 , D 2 6 2 2 , 7. 已知数列 n a满足 2* 12 22.2() n n aaan nN，数列 221 1 loglog nn aa 的前n 项和为 n S， 则 2019 S= A 2020 2019 B 2019 1 C 2020 1 D 2019 2018 8. 已知函数 ( )f x在R上满足 xxxfxf5224 2 ，则曲线 ( )yf x 在点(2, (2) f 处的切线方程是 Ay x B 4yx C 38yx D 512yx 9. 函数0 6 sin xy在 22 ,内单调递增，且图象关于直线x对称，则的值为 A. 1 4 B. 3 5 C. 3 2 D. 3 1 10.如图，半径为 6 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆 锥的体积之和为球的体积的 3 8 ，则这两个圆锥高之差的绝对值 为 A2 B4 C6 D8 11.已知函数 3 ( )ln 2 f xxa x有 4 个零点，则实数a的取值范围是 A 2 0 e , B 2 e , C 2 1 0 e , D , 2 1 e 12.如图， 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c分别为双曲线 22 22 :1( ,0) xy a b ab 的左、右焦点，过点 1 F作 直线l，使直线l与圆 222 ()xcyr相切于点P,设直线l交双曲线的左右两支分别于 A、B 两点 （A、B 位于线段 1 F P 上） ，若 1 |:|:| 2:2:1F AABBP ,则双曲线的离心率为 A. 5 B. 265 5 C. 2 62 3 D. 2 63 第卷第卷（非选择题 满分 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请在答题卷的相应区域答题 .） 13. 已知函数 0,ln2 0, 1 2 1 2 xxx x xf x 则1ff . 14. 已知实数 yx, 满足约束条件 1 04 0 y yx yx ，则 yx z 2 2 的最大值为 . 页 3 第 M D C C1 A B A1 B1 D1 15. 函数11 2 xy 与函数)2( xky的图象有两个不同 的公共点,则实数k的取值范围是 . 16. 如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M是 AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界） ， 若 1 / /B P平面 1 ABM，则 1 C P长度的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卷的相 应区域答题 .） 17.（本小题满分 12 分） 已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 ca b AB AC sinsin sinsin , （1）求角C的大小; （2）若3c,求ba 的取值范围. 18.（本小题满分 12 分） 田忌赛马是史记中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌 的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田 忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田 忌赢得了许多赌注。 假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛， 田忌获胜的概率如下表所示: 上等马 中等马 下等马 上等马 0.5 0.8 1 中等马 0.2 0.5 0.9 下等马 0 0.05 0.4 比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并 且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者. （1）如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率; （2）如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注 1000 金,即胜利者赢得对方 1000 金,每月比赛一 次,求田忌一年赛马获利的数学期望. 公 子 的 马 获 胜 的 概 率 田忌的马 页 4 第 19 （本小题满分 12 分） 已知C是以AB为直径的圆周上一点， 3 ABC，PA平面ABC （1）求证：平面PAC平面PBC； （2）若异面直线PB与AC所成的为 3 ，求二面角APBC的余弦值。 页 5 第 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆:C)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦距为2，过点) 2 2 , 1(。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为F，定点P)0 , 2(，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以 线段AP为直径的圆与直线2x的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点，并求出该定点的坐标。 21 （本小题满分 12 分） 函数xxaaxxfln)1 ( 2 1 )( 2 ， （1）求)(xf的单调区间； （2）在函数)(xf的图象上取),( 11 yxA，),( 22 yxB两个不同的点，令直线AB的斜率 为k，则在函数的图象上是否存在点),( 00 yxP，且 2 21 0 xx x ，使得)( 0 xfk ？若存 在，求A，B两点的坐标，若不存在，说明理由。 页 6 第 考生注意：请在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，l是过定点) 1 , 1 (P且倾斜角为的直线。以坐标原点O为极点，以x轴正半轴 为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos4。 （1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程； （2）若曲线C与直线l相交于M，N两点，求PNPM 的取值范围. 23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数212)(xxxf （1）解不等式5)(xf; （2）若 2 3 3)( 2 aaxf恒成立,求a的取值范围. 页 7 第 黄山市黄山市 20202020 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测 高三数学（理科）参考答案及评分标准高三数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8.B 9.C 10.C 11.C 12.B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 2 14. 5 . 0 15. 1, 3 4 ( 16. )2, 5 30 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 解: （1）由 ca b AB AC sinsin sinsin 则 ca b ab ac abcba 222 3 分 所以 2 1 22 cos 222 ab ab ab cba C 而), 0(C 故 3 C 6 分 （2）由abcba 222 且3c ababba92)( 2 22 ) 2 ( 339)( ba abba 36)( 2 ba 所以6ba 10 分 又3cba 所以ba 的取值范围是6 , 3( 12 分 18. （本小题满分 12 分） 解： （1）记事件A：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜， 对于事件A，三场比赛中，由于有一场比赛田忌必输，另两场都胜， 故72. 09 . 08 . 0)(AP 4 分 （2）设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量（金） ，则的取值为1000-和1000。 若在某月的比赛中田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜，胜负胜，胜胜负 6 分 设在该月的比赛中田忌获胜的概率为P，则 45. 04 . 05 . 05 . 04 . 05 . 05 . 06 . 05 . 05 . 04 . 05 . 05 . 0P 8 分 100100011000-ppE）（）（ 10 分 因此田忌一年赛马获利的数学期望为120012100（金） 12 分 19.（本小题满分 12 分） （1）证明：因为AB为圆的直径，所以BCAC ， 又PA平面ABC，而BC平面ABC，所以BCPA ， 又APAAC,所以BC平面PAC， 页 8 第 A Oy x z B P C 而BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC 5 分 （2）解法 1：建系如图所示，令tAB2，而 3 ABC，则 6 BAC,tAC3，则)0 , 0 , 0(A， ），（0 ,20 tB,）（0 , 2 3 , 2 3tt C，令), 0 , 0(hP)0( h 所以),2, 0(htBP，)0 , 2 3 , 2 3 ( tt AC ， 因为异面直线PB与AC所成的角为 3 ， 故 2 1 34 3 3 cos 22 2 tht t ACBP ACBP ，解得th22 令平面PBC的一个法向量为), 1 (zyn ， 而)0 , 2 , 2 3 ( tt BC，）（ttBP22 ,2, 0 由0BCn,0 22 3 y tt ,所以3y 由0BPn，02232-tzt所以 2 6 z，即) 2 6 , 3, 1 (n 而平面PAB的一个法向量为)0 , 0 , 1 (m 所以 11 22 11 2 2 3 311 1 cos mn mn 解法 2： 过B作AC的平行线BM交圆于M， 连接PM，AM， 所以直线PB与AC所成的角即为PB 与BM所成的角， 因为AB为圆的直径，所以BMAM ， 又PA平面ABC，而BM平面ABC，所以BMPA 又APAAM,所以BM平面PAM 而PM平面PAM，所以PMBM ，则 3 PBM 令tAB2，且 3 ABC所以tBMAC3，tBCAM ttPM3 3 tan3 ，tttPA223 22 ）（， tttPB32)2()22( 22 ,tttPC11)3()22( 22 过A作PCAN 交PC于N， 过A作PBAQ 交PB于Q,连接QN， 由三垂线定理知PBQN ， 所以AQN即为二面角APBC的平面角 8 分 3 62 32 222 t tt PB ABPA AQ， 11 662 11 322 t tt PC ACPA AN 2 6633 11 sin 11112 6 AN AQN AQ ， 11 22 cosAQN 页 9 第 即为二面角APBC的余弦值为 11 22 12 分 20. （本小题满分 12 分） 解： （1）由题知 1 2 11 1 22 ba c 解得2 2 a，1 2 b， 所以椭圆C的方程为1 2 2 2 y x 4 分 （2）设),( 11 yxA，),( 22 yxB因为直线l的斜率不为零，令l的方程为：1 myx 由 1 2 1 2 2 y x myx 得012)2( 22 myym 则 2 2 2 21 m m yy， 2 1 2 21 m yy， 6 分 因为以AP为直径的圆与直线2x的另一个交点为Q,所以PQAQ ，则), 2( 1 yQ 则 2 2 12 x yy kBQ，故BQ的方程为：)2( 2 2 12 1 x x yy yy 8 分 由椭圆的对称性，则定点必在x轴上，所以令0y，则 22 ) 1( 2 )2( 12 121 12 21 12 21 yy yymy yy myy yy xy x 而 2 2 2 21 m m yy， 2 1 2 21 m yy， 2 21 21 yy ymy 所以 2 3 2 2 1 2 2 12 1 21 yy y yy x 故直线BQ恒过定点，且定点为)0 , 2 3 ( 12 分 21.（本小题满分 12 分） 解： （1）由题知定义域为），（0， x xax x xaax x aaxxf ) 1)(1(1)1 (1 1)( 2 1 分 当1a时，1 1 0 a ， 令0)( xf，解得) 1 , 1 ( a x，0)( xf，解得), 1 () 1 , 0( a x 即函数)(xf在) 1 , 1 ( a 上单调递增，在 ) 1 , 0( a 及), 1 ( 上单调递减； 当1a时，1 1 a ，在), 0( 上0 ) 1() 1)(1( )( 2 x x x xx xf， 即函数)(xf在), 0( 上单调递减； 当01a时，1 1 a 令0)( xf，解得) 1 , 1 ( a x，0)( xf，解得), 1 () 1 , 0( a x 页 10 第 即函数)(xf在) 1 , 1 ( a 上单调递增，在 ) 1 , 0(及), 1 ( a 上单调递减； 当0a时， 令0)( xf，解得), 1 ( x，0)( xf，解得) 1 , 0(x 即函数)(xf在), 1 ( 上单调递增，在 ) 1 , 0(上单调递减； 5 分 综上所述： 当1a时，增区间为) 1 , 1 ( a ，减区间为) 1 , 0( a 及), 1 ( ； 当1a时，减区间为), 0( ； 当01a时，增区间为) 1 , 1 ( a ，减区间为) 1 , 0(及), 1 ( a ； 当0a时，减区间为) 1 , 0(，增区间为), 1 ( ； 6 分 （2）假设存在，即满足)( 0 xfkAB 因为已知),( 11 yxA，),( 22 yxB不妨令 21 0 xx 则 12 12 12 12 12 1212 12 12 lnln )( )(1 ()( 2 1 xx xx xx xxa xx xxxx a xx yy kAB 12 1212 lnln 1 2 )( xx xx a axx 而 21 21 0 00 2 1 2 )(1 1)( xx a axx x aaxxf 由)( 0 xfkAB 得 2112 12 2lnln