2020届江苏省如皋市、如东县高三上学期期中考试数学（文）试题

1 页 江苏省如皋、如东 20192020 学年度高三第一学期期中考试 数学数学文文科科 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上 ） 1已知集合 A( )lnx f xx，B1，2，3，则 AIB 答案：2，3 2若1 310zi，则z的实部为 答案：1 3已知ab rr (3，4)，ab rr 3，则a b r r 答案：4 4已知函数 4 , 1 ( ) 3, 1 x x f x xx ，若( ( )16f f a，则实数a 答案：1 5双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的渐近线方程为 2 6 5 yx ，且过点(5，3 2)，则其焦距为 答案：7 6已知(m，n)为直线120 xy上一点，且0mn ，则 14 mn 的最小值为 答案： 3 4 7若函数( )cos(2)f xx(0)的图象关于直线 12 x 对称，则 答案： 5 6 8 在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， F 为棱 AD 的中点， E 为线段 CC1上一点， 则三棱锥 EFDD1 的体积为 F E D1C1 B1 A1 D C BA 答案：18 9已知 A0，2，B 32 0 x xxxa，若 AB，则实数a的最大值为 答案：1 10已知等差数列 n a的公差为2，且 2 a， 4 a， 5 a成等比数列，则该等比数列的公比为 答案： 1 2 11 如图， 已知点 O(0， 0)， A(2， 0)， P 是曲线yx(0x1)上一个动点， 则OP AP uuu r uuu r 的最小值是 2 页 答案： 1 4 12已知 1 cos() 63 x ，x(0，)，则sin(2 ) 3 x 13已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率 1 2 e ，A、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于 A、B 的一点，直线 PA、PB 的倾斜角分别为、，则 cos() cos() 的值为 答案： 1 7 14已知函数 4 ( )ln2f xxx x ，曲线( )yf x上总存在两点 M( 1 x， 1 y)，N( 2 x， 2 y)使曲 线( )yf x在 M、N 两点处的切线互相平行，则 1 x 2 x的取值范围为 答案：(8，) 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域 内作答，解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 ） 15 （本题满分 14 分） 在锐角ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 222 ()tanA3bcabc （1）求角 A； （2）若2a ，ABC 的面积= 3S，求 11 bc 的值 解： （1）由 222 ()tan3bcaAbc，及余弦定理 222 2cosbcabcA得 2sin3bcAbc，又0bc ，得 3 sin 2 A 因为ABC 为锐角三角形，所以0 2 A ，故= 3 A （2）因为2a ，= 3 A ，根据余弦定理 222 2cosbcabcA得 22 4bcbc， 又 13 sin3 24 SbcAbc，解得4bc 所以 22 44bc，即 22 22 288bcbcbcbc 又+0b c ，所以4bc 根据得， 114 =1 4 bc bcbc ，所以， 11 bc 的值为 1 3 页 16 （本题满分 14 分） 如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知底面 ABCD 是菱形，点 P 是侧棱 C1C 的中点 （1）求证：AC1平面 PBD； （2）求证：BDA1P P D1C1 B1 A1 D C BA （1）证明：连结AC交BD于O点，连结OP， 因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O ， 所以O点是AC的中点，所以AOOC 又因为点P是侧棱 1 C C的中点，所以 1 CPPC 在 1 ACC中， 1 1 C PAO OCPC , 所以 1/ / ACOP 又因为OPPBD面， 1 ACPBD 面， 所以 1/ / AC平面PBD （2）证明：连结 11 AC. 因为 1111 ABCDABC D为直四棱柱， 所以侧棱 1 C C垂直于底面ABCD， 又BD平面ABCD，所以 1 CCBD 因为底面ABCD是菱形，所以ACBD 又 1 ACCCCI， 111 ,ACAC CCAC面面,所以 1 BDAC 面 又因为 1111 ,PCC CCACC A面,所以 11 PACC A面，因为 111 AACC A面， 所以 11 APAC 面， 所以 1 BDA P O P D1C1 B1 A1 D C BA 17 （本题满分 14 分） 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 1 a1， 8 S22 （1）求 n a； 4 页 （2）若 从 n a中 抽 取 一 个 公 比 为q 的 等 比 数 列 n k a， 其 中 k1 1， 且 k1k2kn 当 q 取最小值时，求 n k的通项公式 解： （1）设等差数列的公差为d，则 81 1 88 78+2822 2 Sadd ，解得 1 2 d ， 所以 1 11 (1)1(1) 22 n n aandn . （2）法一：因为akn为 公 比 q 的 等 比 数 列 ， 1 1 k a ，所以 1 n n k aq 又 1 2 n n k k a ，所以 1 1 1 2 1 2 n n n k n k k a q k a ，即 1= +1 nn kqkq ，所以 1+1= +1 nn kq k . 又 k1 1， k1+1 2 0， 所 以1 n k 是 公 比 q 的 等 比 数 列 ， 所 以 1 21 n n kq . 因 为2* nn kkN， 所 以 1 212 n q ， 且 公 比 q 为 正 整 数 ， 解 得2q ， 所 以 最小的公比2q 所以21 n n k 法二：因为数列 n a是正项递增等差数列，所以数列 n k a 的公比1q， 若2 2 k，则由 2 3 2 a ，得 2 1 3 2 a q a ，此时 3 2 2 39 24 k aa q ，由 19 24 n ， 解得 7 * 2 nN，所以2 2 k，同理3 2 k； 若 2 3k ，则由 3 2a ，得2q，此时 1 2 n n k a ， 另一方面， 1 2 n n k k a ，所以 1 1 2 2 n n k ，即21 n n k ， 所以对任何正整数n， n k a 是数列 n a的第2 1 n 项所以最小的公比2q 所以21 n n k 18 （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆 E： 22 22 1 xy ab (ab0)的左、右顶点分别为 A1、A2， 上、下顶点分别为 B1、B2设直线 A1B1倾斜角的余弦值为 2 2 3 ，圆 C 与以线段 OA2为直径的圆关于直 线 A1B1对称 （1）求椭圆 E 的离心率； （2）判断直线 A1B1与圆 C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆 C 的面积为，求圆 C 的方程 5 页 解： （1）设椭圆 E 的焦距为 2c（c0） ， 因为直线 11 A B的倾斜角的余弦值为 2 2 3 ，所以 22 2 2 3 a ab ， 于是 22 8ab，即 222 8()aac，所以椭圆 E 的离心率 2 2 147 . 84 c e a （2）由 14 4 e 可设40ak k，14ck，则2bk， 于是 11 A B的方程为：2 240 xyk， 故 2 OA的中点20k, 到 11 A B的距离d 24 2 3 kk k ， 又以 2 OA为直径的圆的半径2rk，即有dr，所以直线 11 A B与以 2 OA为直径的圆相切 因为圆C与以线段 2 OA为直径的圆关于直线 11 A B对称， 所以直线 11 A B与圆C相切 （3）由圆C的面积为知，圆半径为 2，从而1k ， 设 2 OA的中点2 0, 关于直线 11 A B：2 240 xy的对称点为m n, ， 则 2 1, 24 2 2 240 22 n m mn 解得 8 22 33 mn, 所以，圆C的方程为 2 2 8 22 4 33 xy 19 （本小题满分 16 分） 如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池 ABCD 及左右两侧两个大小相同的矩形休 息区，其中半圆的圆心为 O，半径为 R，矩形 BEFG 的一边 BG 在 BC 上，矩形 AHIJ 的一边 AH 在 AD 上， 点 C，D，F，I 在圆周上，E，J 在直径上，且EOF 6 ，设BOC，( 6 ， 2 )若每平方米游 泳池的造价与休息区造价之比为3：1 （1）记游泳池及休息区的总造价为( )f，求( )f的表达式； （2）为进行投资预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值 J I H 游泳池 休 息 区 休 息 区 G F E DC BOA 解： （1）设游泳池每平方米的造价为3t，休息区每平方米造价为2 (0)t t ， 则在矩形ABCD中，= sin ,cosBC ROBR， 所以， 22 22sin cossin2 ABCD SOB BCRR. O A1 A2 B1 B2 x y 6 页 在矩形BEFG中， 3 sin,coscoscos 6262 R EFRBERRR ， 所以， 2 3 22cos 2 BEFG SEFBER . 所以， 2 =322 =3sin22cos3 , 6 2 ABCDBEFG fStSt tR . （2）由（1）得， 222 =2 3cos22sin232 3sinsinftRtR 2 =22sin33sin1tR， 因为, 6 2 ，所以 1 sin,1 2 . 令 0f，解得 3 sin = 2 .因为, 6 2 ，所以= 3 . 列表如下： 所以，当= 3 时，总造价 f取得极大值 2 1+2 3 tR，即最大值为 2 1+2 3 tR. 20 （本小题满分 16 分） 已知函数 1 ( )lnf xx x ，( )g xaxb （1）若函数( )( )( )h xf xg x在(0，)上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若直线( )g xaxb是函数 1 ( )lnf xx x 图象的切线，求ab的最小值； （3）当3b 时，若直线( )g xaxb与函数 1 ( )lnf xx x 图象有两个交点，求实数a的取值范 围 解： （1）由 1 ln,f xxg xaxb x ，得 1 ( )( )( )=lnh xf xg xxaxb x ，则 2 11 ( )h xa xx ， 因为( )h x在0,上单调递增，所以，0,x ， 2 11 ( )0h xa xx ， 即0,x ， 2 11 a xx ，令 2 1 ,( ),0t H ttt t x ， 2 ( )H ttt 在0,上单调递增， 且 H t能取到0,上一切实数，所以0a ，故实数a的取值范围为,0 （2）设切点为 00 0 1 ,lnxx x ，则切线方程为 00 2 000 111 lnyxxx xxx ， , 6 3 3 , 3 2 f + 0 f Z 极大值 7 页 因为直线 g xaxb是函数 1 lnf xx x 图象的切线， 所以 2 00 11 a xx ， 00 000 111 lnlnaxbx xxx ，所以 00 12 ln1b xx ， 令 0 1 0u u x ， 2 ln1abuuuu ，则 2 211121 21 uuuu uu uuu 当0,1u时， 0u， u在0,1上单调递减； 当1 , +u时， 0u， u在1,+ 上单调递增，所以 1 = 1abu 所以ab的最小值为1 （3）当3b 时，令 1 ( )ln3F xxax x ，则 2 22 111 ( )= axx F xa xxx 当0a 时，( )0F x ，( )F x在0,上单调递增，( )F x在0,上至多一个零点， 故0a 令方程 2 1=0axx的大根为 0 x，则 2 00 10axx 当 0 0,xx时，( )0F x ，( )F x在 0 0,x上单调递增； 当 0, xx时，( )0F x ，( )F x在 0, x 上单调递减 因为( )F x在0,上有两个零点，所