高三数学总复习 95线面、面面垂直的判定与性质练习 新人教B

9-5线面、面面垂直的判定与性质基础巩固强化1.(文)(2011北京海淀区期末)已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面下列命题中不正确的是()A若m，n，则mnB若mn，m，则nC若m，m，则D若m，m，则答案A解析选项A中，直线m与直线n也可能异面，因此A不正确(理)已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面、，则下列命题中的真命题是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，则mn答案A解析mn，故A正确；如图(1)，m，n满足n，但mn，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m，n，知D错2(文)(2011北京市朝阳区模拟)设、是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题若，则；若l上两点到的距离相等，则l；若l，l，则；若，l，且l，则l.其中正确的命题是()A B C D答案D解析对于：若，则可能，也可能.对于：若l上两点到的距离相等，则l，显然错误当l，lA时，l上到A距离相等的两点到的距离相等显然正确(理)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ABB1BC，且A1C与底面成45角，ABBC2，则该棱柱体积的最小值为()A4 B3C4 D3答案C解析由已知得平面A1ABB1平面ABC且交线为AB，故A1在平面ABC上的射影D在AB上由A1C与底面成45角得A1DDC，BCAB，当CD最小即CDBC时A1D最小，此时VminABBCA1D2224.故选C.3(2012河北邯郸临漳一中模拟)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是()A. B3C. D2答案A解析由三视图知，该几何体是一个横放的四棱锥PABCD，其底面ABCD为直角梯形，AB1，CD2，高BC1，棱锥的高PC1，体积V(12)11.4.(2011广东省深圳市高三调研)如图，在立体图形DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE答案C解析要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.所以选C.5定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是内异于A和B的动点，且PCAC.那么，动点C在平面内的轨迹是()A一条线段，但要去掉两个点B一个圆，但要去掉两个点C一个椭圆，但要去掉两个点D半圆，但要去掉两个点答案B解析连接BC，PB，ACPB.又PCAC，ACBC.C在以AB为直径的圆上故选B.6(文)(2011广东广州一模)已知l、m是不同的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是()A若l，则lB若l，则lC若lm，m，则lD若l，m，则lm答案D解析lm.(理)(2011济宁三模)在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2，AA11，则点A到平面A1BC的距离为()A. B.C. D.答案B解析解法1：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AFA1E，垂足为F.A1A平面ABC，A1ABC，ABAC.AEBC.BC平面AEA1.BCAF，又AFA1E，AF平面A1BC.AF的长即为所求点A到平面A1BC的距离AA11，AE，AF.解法2：VA1ABCSABCAA11.又A1BA1C，在A1BE中，A1E2.SA1BC222.VAA1BCSA1BChh.h，h.点A到平面A1BC距离为.7如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADC90，且AA1ADDC2，M平面ABCD，当D1M平面A1C1D时，DM_.答案2解析DADCAA1DD1且DA、DC、DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM为正方形时，D1M平面A1C1D，DM2.8如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC等)(不唯一)解析连接AC，四边形ABCD为菱形，ACBD，又PA平面ABCD，PABD，又ACPAA，BD平面PAC，BDPC.当DMPC(或BMPC等)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别是AB、BC、B1C1的中点下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；P在直线FG上运动时，APDE；Q在直线BC1上运动时，三棱锥AD1QC的体积不变；M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段答案解析三棱锥A1ABC的四个面都是Rt，故错；P在FG上运动时，PF平面ABCD，PFDE，又在正方体ABCD中，E、F为AB、BC中点，AFDE，DE平面PAF，DEPA，故真；VAD1QCVQAD1C，BC1AD1，BC1平面AD1C，无论点Q在BC1上怎样运动，Q到平面AD1C距离都相等，故真；到点D和C1距离相等的点在经过线段C1D的中点与DC1垂直的平面上，故点M为平面与正方体的面A1B1C1D1相交线段上的点，这条线段即A1D1.10(2012北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MBNC，MNMB.(1)求证：平面AMB平面DNC；(2)若MCCB，求证BCAC.证明(1)因为MBNC，MB平面DNC，NC平面DNC，所以MB平面DNC.因为四边形AMND是矩形，所以MADN.又MA平面DNC，DN平面DNC，所以MA平面DNC.又MAMBM，且MA、MB平面AMB，所以平面AMB平面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AMMN.因为平面AMND平面MBCN，且平面AMND平面MBCNMN，所以AM平面MBCN.因为BC平面MBCN，所以AMBC.因为MCBC，MCAMM，所以BC平面AMC.因为AC平面AMC，所以BCAC.能力拓展提升11.(文)(2012广东深圳一调)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，A1AAB2，BC1，AC，若规定正(主)视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的侧(左)视图的面积为()A. B2C4 D2答案A解析过B作BEAC，垂足为E，平面B1BE交A1C1于E1，则BE，由题意根据三视图的规则知，几何体的侧视图表示长为，宽为2的矩形，所以几何体的侧视图的面积为S2，故选A.(理)如图，在棱长均为1的三棱锥SABC中，E为棱SA的中点，F为ABC的中心，则直线EF与平面ABC所成角的正切值是()A2 B1C. D.答案C解析F为正三棱锥底面中心，SF平面ABC，平面SAF平面ABC，EFA为EF与平面ABC所成的角，易知AE，AF，又EFSA，cosFAE，sinFAE，tanFAE.由于RtSAF中E为SA的中点，FAEEFA，故tanEFA.12(文)(2012安徽理，6)设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析m，b，bm，b，又a，ba.当a，am时，bm，ba，而此时平面与平面不一定垂直，故选A.(理)过正方形ABCD之顶点A作PA平面ABCD，若PAAB，则平面ABP与平面CDP所成二面角的度数为()A30 B45C60 D90答案B解析过P作直线lAB，则l为二面角的棱，易证APD即为所求APAD，PAD90，APD45.13(2012山西联考)已知四棱锥PABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD底面ABCD，PAD为正三角形，AB2AD4，则球O的表面积为_答案解析过P作PEAB交球面于E，连接BE、CE，则BEAP，CEDP，三棱柱APDBEC为正三棱柱，PAD为正三角形，PAD外接圆的半径为，球O的半径R，球O的表面积S4R2.14在正三棱锥PABC中，D、E分别是AB、BC的中点，有下列三个论断：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE.其中正确论断的序号为_答案解析如图，D、E为AB、BC的中点，DEAC，AC平面PDE，AC平面PDE；取AC中点M，则由正三棱锥知，PMAC，BMAC，AC平面PBM，ACPB；ACDE，DEBM，BMDE.故AB与DE不垂直，从而AB平面PDE，错误15如图，已知AB平面ACD，DEAB，ACD是正三角形，ADDE2AB，且F是CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE.证明(1)取CE的中点P，连接FP、BP，F为CD的中点，FPDE，且FPDE.又ABDE，且ABDE，ABFP，且ABFP，四边形ABPF为平行四边形，AFBP.又AF平面BCE，BP平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为正三角形，AFCD.AB平面ACD，DEAB，DE平面ACD，又AF平面ACD，DEAF.又AFCD，CDDED，AF平面CDE.又BPAF，BP平面CDE.又BP平面BCE，平面BCE平面CDE.16(文)(2011北京模拟)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点(1)求证：BM平面ADEF；(2)求证：平面BDE平面BEC.证明(1)证明：延长DA与CB相交于P，ABAD2，CD4，ABCD，B为PC的中点，又M为CE的中点，BMEP，BM平面ADEF，EP平面ADEF，BM平面ADEF.(2)证明：由(1)知，BCPC2，又BD2，BD2BC2CD2，BDBC.又平面ADEF平面ABCD，EDAD，ED平面ABCD，EDBC，EDBDD，BC平面BDE，又BC平面BEC，平面BDE平面BEC.(理)(2012北京文，16)如图1，在RtABC中，C90，D、E分别为AC、AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2.(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由分析(1)利用线面平行判定定理证明(关键证明DEBC)(2)由平面图形知折叠后，由线面垂直判定定理证得DE平面A1CD，则DEA1F，又由A1FCD，易证得A1F平面BCDE，则A1FBE.(3)采取先找再证的办法处理由DA1DC联想到等腰三角形底边上的中线是底面边上的高，可取A1C中点，再由“中点找中点”原则取A1B中点Q，证明A1C平面DEQ(利用(2)中的DE平面A1DC这一结论)解析(1)证明：因为D、E分别为AC、AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明：由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC，所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE.所以A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C、A1B的中点P、Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰直角三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.点评1.本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，性质定理，折叠问题，存在性问题等2对于折叠问题，关键是看清折叠前后各量的变化与不变(包括长度、角度、位置关系等)，对于存在性问题，一般采取先找再证(取特例)的办法解决1(2011广东省广州市高三年级调研测试)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD4，AB2DC2.(1)求证：BD平面PAD；(2)求三棱锥APCD的体积解析(1)证明：在ABD中，由于AD2，BD4，AB2，AD2BD2AB2.ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.(2)过P作POAD交AD于O.又平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD.PAD是边长为2的等边三角形，PO.由(1)知，ADBD，在RtABD中，斜边AB边上的高为h.ABDC，SACDCDh2.VAPCDVPACDSACDPO2.2.(2012河南豫东、豫北十所名校联考)如图所示的七面体是由三棱台ABCA1B1C1和四棱锥DAA1C1C对接而成，四边形ABCD是边长为2的正方形，BB1平面ABCD，BB12A1B12.(1)求证：平面AA1C1C平面BB1D；(2)求二面角AA1DC1的余弦值解析因为BB1平面ABCD且ABCD是边长为2的正方形，所以以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则有A(2,0,0)，B(0,0,0)，C(0,2,0)，D(2,2,0)，A1(1,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,1,2)(1)证明：(0,0,2)(2,2,0)0，(2,2,0)(2,2,0)0，BB1AC，BDAC，BB1与DB是平面BB1D内的两条相交直线AC平面BB1D，又AC平面AA1C1C，平面AA1C1C平面BB1D.(2)(1,0,2)，(0,2,0)，(1,1,0)，(1,2，2)设n(x1，y1，z1)为平面A1AD的一个法向量，则nx12z10，n2y10，于是y10，取z11，则x12，n(2,0,1)设mx2y20，mx22y22z20，可得3y22z2，取z23，则x2y22，m(2,2,3)cosm，n，由图知二面角AA1DC1为钝角，所以其余弦值为.3(2012石家庄市一模)四棱锥ABCDE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形(1)若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF丄CM，请说明理由；(2)若ABAC，平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值解析(1)总有BFCM，理由如下：法一：取BC的中点O，连接AO，由俯视图可知，AO平面BCDE，CD平面BCDE，所以AOCD.又CDBC，所以CD平面ABC，故CDBF.因为ABC为正三角形，F是AC的中点，所以BFAC.又ACCDD，故BF平面ACD，因为CM平面ACD，所以BFCM.法二：取BC的中点O，连接AO，由俯视图可知，AO平面BCDE，取DE中点H，连接OH，OHBC，以OC、OH、OA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.则A(0,0