2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】首先求出集合，再根据交集的定义，即可得解.【详解】解：因为，.故选：D【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.2复数上的虚部为（ ）ABCD【答案】A【解析】化简得到计算虚部得到答案.【详解】，所以的虚部为.故选：【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.3若双曲线的实轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据实轴长得到，再根据渐近线公式得到答案.【详解】，双曲线的渐近线方程为.故选：【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题型.4已知，是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】若，则根据面面垂直的性质定理可得；若，则由，可得.故选：【点睛】本题考查了充要条件，理解把握面面垂直的性质是解题的关键.5一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）A这组新数据的平均数为B这组新数据的平均数为C这组新数据的方差为D这组新数据的标准差为【答案】D【解析】计算得到新数据的平均数为，方差为，标准差为，结合选项得到答案.【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为，方差为，标准差为.故选：【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.6设函数若是奇函数，则（ ）ABCD1【答案】A【解析】先求出的值，再根据奇函数的性质，可得到的值，最后代入，可得到答案.【详解】是奇函数故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题.7第28届金鸡百花电影节将于11月19日至23日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，南方车站的聚会春江水暖第一次的离别春潮抵达之谜五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则春潮与抵达之谜至少有一部被选中的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】分别列举出五部作品中选择两部的情况,共有10种,再找到春潮与抵达之谜至少有一部的情况,共有7部,求出概率即可【详解】从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为（南方车站的聚会，春江水暖），（南方车站的聚会，第一次的离别），（南方车站的聚会，春潮），（南方车站的聚会，抵达之谜），（春江水暖，第一次的离别），（春江水暖，春潮，（春江水暖，抵达之谜），（第一次的离别，春潮）（第一次的离别，抵达之谜），（春潮，抵达之谜），共10种情况，其中春潮与抵达之谜至少有一部被选中的有7种，故所求概率为故选：C【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,考查古典概型,属于基础题8将曲线向左平移个单位长度，得到的曲线关于直线对称，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据相位变换规则求出变换后的解析式，由曲线关于直线对称，得到关于的关系式，即可求出最小值.【详解】解：由题意，将曲线向左平移个单位长度，可得，因为关于直线对称，所以，所以，则的最小值为.故选：C【点睛】本题考查正弦函数的相位变换，以及正弦函数的对称性，属于基础题.9已知等比数列的前n项和为，且，则（ ）A16B19C20D25【答案】B【解析】利用，成等比数列求解【详解】因为等比数列的前n项和为，所以，成等比数列，因为，所以，故.故选：B【点睛】本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题10在三棱锥中，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】通过证明，又，可得的中点为该三棱锥的外接球球心，外接球半径为，再利用球的面积公式求得.【详解】解：因为，所以.因为，所以，所以，则的中点为该三棱锥的外接球球心，故该三棱锥的外接球半径为，其表面积为.故选：【点睛】本题考查锥体的外接球的表面积计算问题，属于中档题.11已知函数，.若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据条件求出的值域，与的值域，由，可得两值域的包含关系，即可求得参数的取值范围.【详解】解：因为，所以的值域为.因为，所以在上的值域为，依题意得，则解得.故选：C【点睛】本题考查函数方程思想的综合应用，属于中档题.12已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，为的内心，且，若椭圆的离心率为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】设内切圆的半径为，根据题意化简得到，代入数据计算得到答案.【详解】设内切圆的半径为则，整理得.为椭圆上的点，解得.故选：【点睛】本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到是解得的关键.二、填空题13设，满足则则的最小值是_.【答案】-4【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：作出可行域如图所示，当直线经过点时，.故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题14若函数在上为减函数，则的取值范围为_.【答案】【解析】将问题转化为导函数在上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出的取值范围.【详解】由题意可知，即对恒成立，所以，所以即.故答案为：.【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知函数为指定区间的单调增(或减)函数，则在指定区间上恒成立.15最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的九章算术也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”，其中，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则_.【答案】【解析】根据条件求出，结合向量投影的定义即可求解【详解】解：由等面积法可得，依题意可得，所以.故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量投影定义，属于基础题16在数列中，且.（1）的通项公式为_；（2）在、这项中，被除余的项数为_【答案】 【解析】（1）根据题意得知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，即可求出；（2）设，可得出，由为奇数，可得出为的倍数或为的奇数倍且为偶数，求出两种情况下值的个数，相加即可得出答案.【详解】（1）且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，；（2）被整除且余数为的整数可表示为，令，可得，且，则为奇数，则为的倍数，或者为的奇数倍且为偶数.当为的倍数时，的取值有：、，共个；当为的奇数倍且为偶数时，的取值有：、，共个.综上所述，在、这项中，被除余的项数为.故答案为：；.【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题17某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额（元）人数101520152010（1）求购买金额不少于45元的频率；（2）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.不少于60元少于60元合计男40女18合计附：参考公式和数据：，.附表：2.0722.7063.8416.6357.8790.1500.1000.0500.0100.005【答案】（1）（或0.5）；（2）列联表见解析，有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.【解析】（1）根据统计表及古典概型的概率计算公式即可计算出不少于45元的频率；（2）完善列联表，计算出跟参考数据比较得出结论.【详解】解：（1）购买金额不少于45元的频率为.（2）列联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090，因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型的概率计算问题，属于基础题.18在中，角，、的对边分别为，且.（1）求；（2）若，且，求的面积.【答案】(1) . (2) 【解析】（1）根据正弦定理得到，计算得到答案.（2）化简得到，即，再计算得到，代入面积公式得到答案.【详解】（1），.，.（2），即，即.，.，.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.19如图，在正方体中，分别是棱，的中点，分别为棱，上一点，且平面.（1）证明：为的中点.（2）若四棱锥的体积为，求正方体的表面积.【答案】（1）见解析；（2）24【解析】（1）取的中点，连接，可证，再由线面平行得到，又，所以四边形为平行四边形，即可得证.（2）设棱长为，易知到平面的距离为，由求出的值，即可求出表面积.【详解】解：（1）证明：取的中点，连接因为，所以为的中点，又为的中点，所以.因为平面，平面，平面平面.所以，即.又，所以四边形为平行四边形，则，所以为的中点.（2）设，则，的面积分别为，易知到平面的距离为，所以，解得，故所求正方体的表面积为.【点睛】本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质，属于基础题.20已知直线与抛物线：交于，两点，为弦的中点，过作的垂线交轴于点.（1）求点的坐标；（2）当弦最长时，求直线的方程.【答案】(1) . (2) 或.【解析】（1）设，代入抛物线相减得到，再根据计算得到答案.（2）直线的方程为，联立方程，根据韦达定理得到，代入计算得到得到答案.【详解】（1）设，则两式相减得.因为，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，所以.因为，所以，解得，所以点的坐标为.（2）由（1）知，直线的斜率一定存在，且不为0，设直线的斜率为，则，即，所以直线的方程为.联立得，则，.由，可得，所以.设，令，可知，此时，即，所以当弦最长时，直线的方程为或.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.21已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）用表示，中的最大值，已知，求函数的零点的个数.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）零点个数为1【解析】（1）求出定义域、导函数，对分类讨论，可得单调区间；（2）由当时，可知函数在上不存在零点，当，分别计算函数值，可知是的零点，由（1）知在上无零点.【详解】解：（1）函数的定义域为，且.当时，对恒成立，所以在上单调递增.当时，令，得，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，从而，所以在上无零点.当时，所以是的零点.当时，所以在上的零点个数只需要考虑在上的零点个数.由（1）知，在上单调递减，所以，从而在上无零点综上，的零点个数为1.【点睛】本题考查含参函数的单调性，以及函数的零点问题，属于中档题.22在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.（1）求，的值；（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，计算得到答案.【详解】（1）由，得，则，即.因为，所以.（2）将代入，得.设，两点对应的参数分别为，则，.所以.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参