第七章第六节圆的方程

第七章第六节 圆的方程http:/www.DearEDU.com1本节知识结构：2学习目的要求（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，从圆的标准方程熟练地求出它的圆心和半径；（2）掌握圆的一般方程，掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径，能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，熟练求出圆心在原点、半径为r的圆的参数方程；理解参数的意义，理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程，并把它化成圆的普通方程.3教学任务分析（1）本小节介绍了圆的标准方程、一般方程和参数方程.（2）圆是学生比较熟悉的曲线. 在初中几何课中已学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程、它与其他图形的位置关系及一些应用，而不是用解析法讨论它的性质.（3）本小节首先研究圆的标准方程的特点，和怎样根据不同条件建立圆的标准方程，以及运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题. 圆的标准方程（xa）2+（yb）2=r2含有三个参数，教学中，可以利用图形计算器或计算机研究a、b、r对圆的影响（如下图），明确确定圆的三个要素的几何意义，这对于由条件求圆的方程，或由圆的方程写出圆心和半径是很有帮助的. 由于圆的标准方程（xa）2+（yb）2=r2含有三个参数a、b、r，因此必须针对圆给定三个独立条件才能确定一个圆. 一般情况下，可以根据条件利用待定系数法求出a、b、r，进而写出圆的标准方程.（4）例2的解法，是先设切线的斜率为k，过切点的半径OM的斜率为k1，再用求出过点M0（x0，y0）的切线方程.教科书为了便于学生掌握的一般思路，通常都是对一般情况进行讨论，然后再看一下特殊情况. 例2也是对一般情况讨论的. 在得出圆的切线方程后，可向学生说明，当k或k1不存在时，即M0在坐标轴上时，这个结论也是成立的，因此，它可以当作公式用.例2除有教科书中的解法以外，还有以下的解法.解法2：设P（x，y）是切线上的任意一点，根据勾股定理，得OM2+MP2=OP2，所以，由于 ，把方程整理可得.解法3：设P（x，y）是切线上任意一点，则，所以，.用向量的坐标表示，得（x0，y0）（xx0，yy0）=0，所以，所以切线的方程是x0x+y0y=r2.（5）圆的标准方程和一般方程是圆的方程的两个基本形式. 将圆的标准方程展开，即得到圆的一般方程，由此得到圆的方程都可化为的形式. 但是，所有形如的方程是否都是圆呢？教科书上给出了三个方程： ； ； ，以上三个方程分别代表了所表示的图形的三种不同状态，由此可以看到，研究什么情况下表示圆很有必要. 对于圆的标准方程，它的圆心坐标是（a，b），半径是r，学生已经掌握. 对于圆的一般方程，要求学生会通过配方化为，并引导学生总结出在什么情况下，它的轨迹是圆、点或无轨迹. 当轨迹是圆时，可得：圆心的坐标为.应注意不要让学生死记结果，而是要求他们掌握通过配方求出圆心和半径的方法.要引导学生总结圆的一般方程的特点. 通过比较二元二次方程的一般式 和圆的一般方程 的系数，启发学生归纳如下结论：当二元二次方程具有条件x2和y2的系数相同且不等于0，即A=C0；没有xy项，即B=0；D2+E24AF0时，它才表示圆. 条件和是二元二次方程表示圆的必要条件，但不充分. 具有条件和，方程的曲线还不一定是圆，我们可称这样的方程为圆型方程. 条件、和合起来，则是二元二次方程表示圆的充要条件.同圆的标准方程一样，圆的一般方程中也含有三个参变数，因此必须具备三个独立条件，才能决定一个圆. （6）例4是已知圆上三个点的坐标决定一个圆. 当已知曲线为圆时，一般采用待定系数法求它的方程. 如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，那么可采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.待定系数法是数学中常用的一种方法，这在以前已运用过，例如由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等. 教学中可复习小结一下，并指出这种方法在求圆的方程或其他问题中有广泛的应用，要求学生熟练掌握用待定系数法解决有关问题.（7）教科书在介绍圆的参数方程时，先给出了以下问题：“已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，求的最大值与最小值.”通过这个问题及三角代换，让学生先感受到形如 的方程的作用，然后再给出圆的参数方程. 在推导圆的参数方程时，教科书先根据三角函数的定义，推导出了圆心在原点、半径为r的圆的参数方程 然后直接给出圆心为O1（a，b）、半径为r的圆的参数方程 （为参数）.在具体教学过程中，对如何根据圆的平移得到后一个参数方程，可作适当介绍：圆心为O1（a，b）、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O、半径为r的圆按向量v =（a，b）平移得到（如上图），即对于圆O上任意一点P1（x1，y1），在圆O1上必有一点P（x，y），使.因为，用向量的坐标表示，就是，所以由于点P1（x1，y1）在以原点为圆心，r为半径的圆上，所以存在参数，使所以 （8）教科书在习题7.7的第9题简单介绍了一般的参数方程和普通方程的概念，之所以把这两个概念放在习题里，主要是考虑对参数方程的教学要求比较低，不要求学生系统地学习怎样求曲线的参数方程，而只是为了在某些问题的叙述中，能使学生区分曲线的参数方程和普通方程这两种不同形式，初步了解参数方程和普通方程的意义，能够把一些简单曲线（如圆和直线等）的参数方程化成普通方程.在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，能使它们的解决变得容易. 因为参数方程把曲线上点的坐标通过参数直接表示出来，比较清楚地指出曲线上点的坐标的特点. 教科书中的例6，就是利用参数方程加以解决的.当然，在具体分析过程中，可以利用几何画板先观察和发现所求点的轨迹是什么（如下图），然后再求出点的轨迹方程. （9）本小节的“数学实验”是例6的延续，安排这组问题的目的，是拓广学生对轨迹的进一步认识，培养学生的探究能力. 4信息技术在教学设计中的应用数学实验对于（1），拖动三角形位于圆上的点，我们可以发现三角形的外心的轨迹是一条线段（如下图左），或是一条直线（下图中），或是两条射线（下图右）. 对于（2），