广东广州东莞五校高三数学第一次联考 理 北师大

2011届高三级第一次阶段综合测试五校联考数学（理）科试卷 试题说明：本试卷共4页，20小题，满分150分. 考试时间为120分钟.注意事项：答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答卷上； 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，答案不能答在答卷上；非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须答在各题目指定区域内的相应位置上，不按以上要求作答的答案无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1集合的真子集的个数为A6 B7 C8 D92不等式的解集是A BC D3函数的一个单调递增区间为A B C D4设复数满足，则A B C D图15已知向量，若，则A BC1 D36如图1所示，是关于判断闰年的流程图，则以下年份是闰年的为A1996年W$w#w.k-s+5=u.c.o*m B1998年 C2010年 D2100年7已知，是平面，是直线，给出下列命题若，则若，则如果、n是异面直线，那么相交若，且，则且 其中正确命题的个数是A4 B3 C2 D18函数，若（其中、均大于），则的最小值为W$w#w.k-s+5=u.c.o*m A B C D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（913题）w_w w.k*s_5 u.c o_m9某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人10已知等比数列的前三项依次为，则 11抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标 12不等式的解集是 13 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为_ W$w#w.k-s+5=u.c.o*m（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）w_w w.k*14在极坐标系中，点到直线的距离为 15如图2所示，与是的直径，是延长线上一点，ADPCOEBF图2连交于点，连交于点，若，则 W$w#w.k-s+5=u.c.o*m三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）求的值17. （本小题满分12分）一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。 （1）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率； （2）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分的概率分布列及数学期望。W$w#w.k-s+5=u.c.o*m18. (本小题满分14分) 如图3所示，四棱锥中，底面为正方形， 平面，分别为、的中点图3ABCDEFGP（1）求证：；（2）求二面角DFGE的余弦值 19(本小题满分14分) 已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点。（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。W$w#w.k-s+5=u.c.o*m20(本小题满分14分)已知函数。（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间。21（本小题满分14分）已知函数 (1)当时, 证明: 不等式恒成立; (2)若数列满足,证明数列是等比数列,并求出数列、的通项公式； (3)在(2)的条件下，若，证明：.班 姓名 学号 2011届高三级第一次阶段综合测试五校联考数学（理）科答题卷 题号二三第卷得分总分161718192021分数二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。）9. 10. 11. 12. 13. 14. 15._（注意14、15只选做一题） 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. （本小题满分12分）17. （本小题满分12分）图3ABCDEFGP18. (本小题满分14分) W$w#w.k-s+5=u.c.o*m19. (本小题满分14分)W$w#w.k-s+5=u.c.o*m20. (本小题满分14分)W$w#w.k-s+5=u.c.o*m21. （本小题满分14分）W$w#w.k-s+5=u.c.o*m2011届高三级第一次阶段综合测试五校联考数学（理科）参考答案一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分 题号12345678答案BCDADACB二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算共7小题，每小题5分，满分30分 9760 10 112 12134 14 153三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分） 解：（1）由余弦定理，2分得，4分6分（2）方法1：由余弦定理，得，8分，10分是的内角，W$w#w.k-s+5=u.c.o*m12分方法2：，且是的内角，8分根据正弦定理，10分得 12分17（本小题满分12分） （）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则4分（）由题意，的可能取值为3456。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为6分 的分布列为3456P10分数学期望：E=3+4+5+6=12分W$w#w.k-s+5=u.c.o*m18（本小题满分14分） （1）证法1：平面，平面，又为正方形，平面3分平面，6分证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，4分xyzABCDEFGP，6分（2）解法1：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，8分设平面DFG的法向量为，令，得是平面的一个法向量10分设平面EFG的法向量为，令，得是平面的一个法向量12分设二面角的平面角为，则所以二面角的余弦值为14分解法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，W$w#w.k-s+5=u.c.o*m则，8分xyzABCDEFGP过作的垂线，垂足为，三点共线，即，解得10分再过作的垂线，垂足为，三点共线，即，解得12分与所成的角就是二面角的平面角，所以二面角的余弦值为14分19（本小题满分14分） 解：（1）依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为，从而有，解得 4分又，所以，故椭圆的方程为 6分（2）假设存在符合题意的直线，其方程为7分由得，9分因为直线与椭圆有公共点，所以有，解得10分W$w#w.k-s+5=u.c.o*m另一方面，由直线与的距离为4可得，从而12分由于，所以符合题意的直线不存在。14分20（本小题满分14分） 解：（1）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 。 4分（2）.5分当时，. 所以，在区间上，；在区间上，.故的单调递增区间是，单调递减区间是.6分 当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.9分当时，故的单调递增区间是.10分当时，得.所以没在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是13分由上可知当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是；当时