福建省福州市三校联盟（连江文笔中学、永泰城关中学、长乐高级中学）学年高二数学下学期期中试题理

福建省福州市三校联盟（连江文笔中学、永泰城关中学、长乐高级中学）2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一.选择题（每小题5分，共60分）1.若复数则等于（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】整理得：，问题得解。【详解】因为所以.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的运算及共轭复数的概念，属于基础题。2.一个口袋内装有大小相同6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（）种不同的取法A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接由组合数定义得解。【详解】由题可得：一个口袋内装有大小相同的8个球中，从中取3个球，共有种不同的取法.故选：D【点睛】本题主要考查了组合数的定义，属于基础题。3.在用数学归纳法证明等式时，当时的左边等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】直接由等式左边的规律得解。【详解】等式左边的规律为：以1为首项，公差为1等差数列的前项和.所以，当时的左边为：以1为首项，公差为1的等差数列的前2项和。所以当时的左边为：.故选：C【点睛】本题主要考查了观察能力及等差数列的特征，属于基础题。4.计算：（ ）A. 1B. 1C. 8D. 8【答案】C【解析】【分析】直接由定积分公式得解【详解】.故选：C【点睛】本题主要考查了定积分计算，考查计算能力，属于基础题。5.已知，则等于（ ）A. B. C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】求得，令可求得：，再令即可得解。【详解】由得：令，则，解得：，令，则故选：A【点睛】本题主要考查了导数计算及赋值法，考查观察能力，属于中档题。6.函数，的最大值.最小值分别是（）A. 3,17B. 1,1C. 1,17D. 9,19【答案】A【解析】分析】利用导数求得的单调性，问题得解。【详解】由得：，当时，当时，所以在上递增，在递减.又，所以函数，的最大值.最小值分别是：，故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及求最值，考查计算能力，属于基础题。7.平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到（）A. 空间中平行于同一直线的两直线平行B. 空间中平行于同一平面的两直线平行C. 空间中平行于同一直线的两平面平行D. 空间中平行于同一平面的两平面平行【答案】D【解析】【分析】由平面中的线类比空间中的面即可得解。【详解】平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比方法得：空间中平行于同一平面的两平面平行.故选：D【点睛】本题主要考查了类比推理，考查平面中的线类比空间中的面知识，属于基础题。8.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条，则不同的选择方法有（）A. 24B. 48C. 64D. 81【答案】C【解析】试题分析：每个旅游团只能任选其中一条，则每个团有4种选择，按分步计数原理可知总的选法种数为考点：分步计数原理点评：分步计数原理适用于完成一件事需多个步骤，完成该事总的方法数为各步方法数的乘积9.设是函数的导数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：因为由图象可知，函数在x=2处取得极小值，因此排除A,B,D，得到选项C10.函数f(x)=在(-1，1)上是增函数，则t的取值范围是()A. t5B. t5C. t2+（2）(用反证法证明)已知0a1,0b1,0c+即证：即证：即证：即证：即证：又成立，原不等式成立，命题得证。（2）假设，都大于.即：，又，所以，所以.又，所以.这与矛盾。所以假设不成立，故三个数，不可能都大于【点睛】本题主要考查了分析法证明不等式及反证法证明不等式，考查转化思想及基本不等式的应用，属于中档题。20.已知数列的前n项和为，且，()（1）求，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出的表达式【答案】（1）解 an=Sn-Sn-1（n2）Sn=n2（Sn-Sn-1），Sn=Sn-1（n2）a1=1，S1=a1=1.S2=，S3=，S4=， 6分猜想Sn=（nN*）. 7分（2）证明 当n=1时，S1=1成立.假设n=k（k1,kN*）时，等式成立，即Sk=，当n=k+1时，Sk+1=（k+1）2ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，ak+1=，Sk+1=（k+1）2ak+1=，n=k+1时等式也成立，得证.根据、可知，对于任意nN*，等式均成立.13分又ak+1=，an=. 15分【解析】【分析】（1）根据数列中和的关系式，得到，进而由，即可分别求解得值，归纳猜想的表达式；（2）用数学归纳法作出证明：第一步，先证明时，结论成立，第二步，假设时成立，证明时也成立，即可得到结论成立【详解】解：(1)因为anSnSn1(n2)所以Snn2(SnSn1)，所以SnSn1(n2)因为a11，所以S1a11.所以S2，S3，S4，猜想Sn (nN*)(2)当n1时，S11成立假设nk(k1，kN*)时，等式成立，即Sk，当nk1时，Sk1(k1)2ak1ak1Skak1，所以ak1，所以Sk1(k1)2ak1.所以nk1时等式也成立，得证所以根据、可知，对于任意nN*，等式均成立由Snn2an，得n2an，所以an.【点睛】本题主要考查了数列问题的归纳、猜想与证明，以及数学归纳法的应用问题，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证时成立；（2）假设当时成立，证得也成立；（3）得到证明的结论其中在到的推理中必须使用归纳假设着重考查了推理与论证能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题21.某服装厂品牌服装年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装万件并全部销售完，每万件的销售收入为R（）万元.且（1）写出年利润y（万元）关于年产量（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本）【答案】（1）；（2）当年产量为9万件时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最大【解析】【分析】（1）由已知条件分类即可写出年利润y（万元）关于年产量（万件）的函数关系式.（2）分别求分段函数在各段内的最大值，对比即可得到服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大值，由此得到年产量。【详解】（1）当时，.当时，所以年利润y（万元）关于年产量（万件）的函数关系式为：（2）当时，所以，由得：，当时，.当时，当且仅当时，等号成立.当年产量为9万件时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最大.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，还考查了利用导数求函数的最值、利用基本不等式求函数的最值，考查了分类思想及计算能力，属于中档题。22.已知函数在与处都取得极值 （1）求实数的值；（2）求函数的单调区间，并判断极大值点与极小值点；（3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）见解析；（3）或【解析】【分析】（1）求出，由题可得：，解方程组即可。（2）求得，列出的关系，即可求得函数的单调区间，并判断极大值点与极小值点.（3）将不等式恒成立，转化成：对，利用导数即可求得，问题得解。【详解】（1） ，由，得， （2）由（1）得，列表如下：极