重要不等式及其运用 人教 2

重要不等式及其运用学习目标: 1掌握定理的推证； 2能够灵活运用定理证明不等式； 3能够灵活运用定理求解函数的最值问题； 4争取掌握补充内容。学习重点难点: 灵活运用定理证明不等式和求函数的最值问题。一、教材分析: 本节所介绍的公式在整个代数中占有重要地位，它不仅用来为证明不等式提供理论依据，还在其它问题的求解中有着广泛的应用，例如求最值问题，求范围问题等。主要内容:重要结论1：如果a,bR, 那么 （当且仅当a=b时取“=”号）。定理：如果a,bR+, 那么 （当且仅当a=b时取“=”号）重要结论2（补充）：如果a, b, cR+, 那么 。（当且仅当a=b=c时取“=”号）重要结论3（补充）：如果a, b, cR+, 那么 （当且仅当a=b=c时取“=”号）重要结论4（补充）：如果a1, a2,., anR+, 那么 （当且仅当a1=a2=an时取“=”号），其中nN, 且n1。以上内容有几点说明:对于结论1，应注意灵活变形：比如 ；如果b0，那么 ；另外 。定理指出：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数，反映了两个数的和与积的重要关系，它是基础，因为它不仅应用广泛，而且 也可由它推出，现证明如下:设a, b, cR+, ，则A0, 且a+b+c=3A, 于是 ， ， ， 。可以看出，当且仅当a=b, c=A且 ，即a=b=c(=A)时取“=”号。 的几何意义是“半径不小于半弦”。我们知道 ，即两个正数的平方平均数不小于算术平均数。且 ，即两个正数的算术平均数不小于这两数的调和平均数，显然需要比较的是 与 的大小。 。综上可得出: 。结论2的条件是a,b,cR+，实际上，由推证过程:a3+b3+c3-3abc= (a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20。 只需a+b+c0即可，但为了使用方便 ，往往限制a,b,cR+。这一点必须清楚，例如a3+b3+c33abc成立的充要条件是:a+b+c0或a=b=c。结论4，设 ，本定理反映的是n个（n是大于1的整数）正数的算术平均数A不小于它们的几何平均数G。应用不等式证题时，一定要注意条件和“=”的说明，尤其在求函数最值时，“=”号成立与否是很关键的。二、重要不等式的应用: 例1设a, b, cR+，求证： 。分析:本题的难点在于 不易处理，如能找出a2+b2与a+b之间的关系，问题就能解决。证明: a, b, cR+， a2+b22ab, 2(a2+b2) (a+b)2, ,同理: ， ， 例2若a, b, cR+，求证(a+b+c)4(a2+b2+c2)243a2b2c2。分析:这类不等式可看作是“和的形式积的形式”经迭乘而成。证明: a,b,c0， ， ,又 ，(a+b+c)4(a2+b2+c2)35(abc)2。 (a+b+c)4(a2+b2+c2)243a2b2c2。例3若a2，求证 。分析:两个对数的积不好处理，而和易处理，从而想到重要不等式。证明: a2, loga(a-1)0, loga(a+1)0，且 , loga(a-1)loga(a+1)1。例4若0x0， 当且仅当5x=2-5x，即 时，原式有最大值 。例5求函数 的最小值 (a0)。解: (1)当01时，令 (t )。 在 为增函数， ，此时x=0。综上可知，01时， 。三、课外练习1若-4x0, y0，则lgx+lgy的最大值为_。3若lgx+lgy=1，则 的最小值为_。4已知a,b,cR+, a+b+c=1。求证： 。5某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元。并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次。某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元。要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？参考答案:1.D 2. lg2 3. 21. 2. ，当且仅当 x=2y=2时取“=”。3lgx+lgy=1, xy=10, 。4. 证明: a,b,cR+, a+b+c=1。 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)。 , , ， , 5设购买x张游泳卡，活动开支为y元， 则 当且仅当x=8时取“=”号，此时每人最少交80元。谈对均值不等式的理解和应用 均值不等式是不等式一章中最基础、应用最广泛的灵活因子，它是考查素质、能力的一个窗口，是高考的热点。对均值不等式的应用可从以下三个方面着手。1 通过特征分析，用于证不等式均值不等式： 1) 2) 两端的结构、数字具有如下特征：1)次数相等；2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；3)左和右积。当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式证明。例1已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。证明: b2+c22bc, a0, a(b2+c2)2abc同理，b(c2+a2)2bac, c(a2+b2)2cab, 又 a，b，c不全相等， 上述三个不等式中等号不能同时成立，因此a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc。例2. 若a，b，cR+，且a+b+c1，求证 .分析：由a，b，c R+，联想均值不等式成立的条件，并把1a+b+c代换 中的“1”，要证不等式变为 ,即 ，亦即 ，发现 互为倒数，已具备均值不等式的特征。证明：a,b,cR+, ， , , . a+b+c=1, .说明：1)此题的证明方法采用的是综合法。用综合法证不等式即由已知不等式推证要证不等式。2)在附加条件的变换下，要证的不等式会隐含均值不等式的部分特征，显示其一个或两个特征，这时，仍可考虑用特征分析法，合理选择思路，寻找解决问题的切入点。2 抓条件“一正、二定、三等”求最值由均值不等式2)，推证出最值定理及其使用的前提条件：“一正、二定、三等”，求最值时，三者缺一不可。例3. 已知x, yR+且9x+16y144，求xy的最大值。分析：由题设一正：x, yR+，二定: 9x+16y144。求积的最大值，可考虑用均值不等式求解。解： x, yR+ ， ，当且仅当9x=16y，即 时，(xy)max=36.说明：本题若改为：x,yR且9x2+16y2=144，求xy的最大值呢？请同学们一试。3 抓“当且仅当等号成立”的条件，实现相等与不等的转化在均值不等式中“当且仅当等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口。例4在ABC中，若三边a，b，c满足条件(a+b+c)3=27abc，试判定三角形ABC的形状。分析：(a+b+c)3=27abc，具有三元均值不等式的结构特征，且属均值不等式的特例(取等号情形)，所以有下面解法。解：a0, b0, c0，故有不等式 （见阅读材料），即(a+b+c)3 27abc，当且仅当a=b=c时，上式等号成立，故三角形为等边三角形。例5已知x,y,z为正实数，且x+y+z=3, . 求x2+y2+z2的值。解：由题设得 。 x,y,z0, , .此不等式等号成立，当且仅当上述三个不等式的等号同时成立，即 , x2=1,y2=1, z2=1, x2+y2+z2=3.说明：均值不等式给出了相等、不等的界，即等号成立的条件。又如解方程： ，读者不妨试解。总之，均值不等式成立的条件，结构特征，积、和为定值，等号成立的条件，是理解应用均值不等式的认知角度。同学们要学会观察已知和未知的结构特征、数字特征，认清其区别、联系，联想相关的知识点、方法，寻找解决问题的突破口。用基本不等式求最值借助基本不等式： 或 ，a,bR+； 或 ，a,b,cR+。求函数的最大值或最小值，在确保“各项为正”的前提下，还必须满足两点： 第一，求和的最小值时，它们的积应为定值；求积的最大值时，它们的和应为定值。 第二，使上述不等式中的等号成立时的自变量为一个确定的值，且在该函数定义域内。 要满足上述两点，在运算过程中，必须对式子作适当的恒等变形，方能达到目的。本文分析用基本不等式求最值容易产生的错误，并归纳一般方法。1常见致错原因分析例1若x0，求 的最小值。解法1：由于 ，故知Pmin=1.说明：以上解法是错误，虽说满足了“积为定值”这个条件，但使等号成立的先决条件： 却不成立。正确解法如下：解法2： ， 。在 即 时，有 。说明：以上求解中采用了“变换系数”的办法，使得“第一”， “第二”两个条件都得以满足。“变换系数”是变形中的常用方法之一。例2已知x,yR+,且2x+y=4，求 的最小值。解法1：由2x+y=4，知y=4-2x，x(0,2)，故 ，而x(4-2x)在x=1时有最大值2，故 有最小值 ，所以 在x=1(0,2)时，有最小值 。说明：以上解法是错误的。其一， 的积 不是定值；其二，要取得等号，必须 ，即x=y。而当x=y=1时，与条件2x+y=4相悖。解法2.由2x+y=4,得 。于是 。说明：以上解法又是错的。这里两次用到基本不等式，然而，使等号成立的条件并不相同：对于 中取等号，必须 ，即y=2x；对于 取等号，必须 ，即x=y，这便导致2x=x，得出x=0，与已知矛盾。解法3：由2x+y=4，得 ， 。 。说明：以上解法满足“第一”，“第二”两个要求，所以正确。等号在 ，即 时成立，代入2x+y=4得x=2(2- )(0,2)。解法4:由2x+y=4，可令2x=4cos2,，y=4sin2，于是 ， 。说明：以上解法满足要求，答案正确。等号在 即 时成立，由此可得 ， ，满足2x+y=4。2. 常见一般方法（1）变更系数法例3. 若x1，求 的最小值。解： 。等号在 即x=2(1,+)时,有 。例4边长为a的正方形铁片，在其四角剪去相等的小正方形后，折成一个方盒。问剪去的尺寸为多少时，小方盒有最大容积。 解：设剪去的小正方形边长为x，则小方盒边长为a-2x，又其高为x，故小方盒容积为V=(a-2x)2x，而4V=4x(a-2x)2 ,故当4x=a-2x, 时，有 例5若ab0，求 的最小值。解： 。说明：本题两次用到基本不等式，第一次在条件2a-b=b即a=b时取等号，第二次在条件 即a=2时取等号，并不矛盾，解法正确。（2）取倒数或作平方例6周长为定值时，哪种三角形面积最大？解：据海伦公式，三角形的面积 ，这里 。 显然 ，同理p-b0,p-c0，故S2=p(p-a)(p-b)(p-c) ,即 ，等号在p-a=p-b=p-c即a=b=c时成立，即周长为定值时，等边三角形面积最大。（3）待定系数法例7总长为24m的铁丝剪成若干段，焊成一个长方体容器的框架。若底面长方形邻边之比为32，试问长方体的高为多少时，其容积有最大值。分析：设底面长方形较长的一边为x，则其邻边长为 ，设长方体高为y，则有 ，即 ，故知x(0,3.6)为函数 的定义域。虽说 为定值，但使等式 成立的x却不存在，为此，需采用其他办法。解法1：由于 ，所以 故得 ，等号在 时成立，即x=2.4(0,3.6)，这时 。说明：以上解法仍是“变更系数法”，问题是（）处的变形很难想到，是否有别的方法呢？解法2 对于 ，取待定系数m，使 。要使 ，即 为（与x无关的）定值，必须 ， 。于是 。 。等号在 ，即x=2.4(0,3,6)时成立，这时 .说明：较之解法1，技巧性降低了，也就比较容易入手，解法2的方法就是最简单的待定系数法。用待定系数法目的，就是为了本文开头提到的“第一”，“第二”两个条件得以实现，在构成积的三个因式中有两个相同，另一个不相等，总可以用变更系数法或待定系数法来处理。 例8若x0，求V=x(x+0.5)(3.2-2x)的最大值。解：取待定系数m, n使 mnV=x(mx+0.5m)(3.2n-2nx)要使 x+(mx+0.5m)+(3.2n-2nx)即0.5m+3.2n+(1+m-2n)x为（与x无关的） 定值，必须1+m-2n=0(*)由x=mx+0.5m=3.2n-2nx得 。代入(*)整理得3x2-2.2x-0.8=0，解得x=1及 ，当x=1时， ， 于是 即当x=1时， 。另解：取待定系数m,n使mnV=mx(nx+0.5n)(3.2-2x).要使mx+(nx+0.5n)+(3.2-2x)即0.5n+3.2+(m+n-2)x为（与x无关的）定值，必m+n-2=0(*).而由mx=nx+0.5n=3.2-2x，即得 。代入(*)整理得3x2-2.2x-0.8=0（下略）说明：本例中构成积的三个因式互不相同，为确保“第一”，“第二”两个条件得以实现，用待定系数法求解时，需用两个待定系数。这两个系数如何配置，结果总为一样，惟繁简不同而已。 1已知i,m,n是正整数，且1imn。(I)证明ni (1+n)m。本题考察排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.证明：(I) 对于1im，有 =m(m-i+1), ,同理 ,由于mni 。(II) 证明：由二项式定理有(1+m)n= mi ,(1+n)m= ni ,由(I)知mi ni (1imni (1im0 (m(1+n)m.2. ab1, P= , Q= (lga+lgb), R=lg( )，则（ ）。A、RPQB、PQRC、QPRD、PRb1, lgalgb0, lga+lgb2 ,即 (lga+lgb) , 故QP,又由 得lg( )lg ,即lg( ) (lga+lgb)。故RQ，从而选B。注意：本题也可用特殊值法来判定，如取a=100, b=10，很容易选B。解这类题要善于利用特例法求解，利用均值不等式和函数单调性比较大小，是比较大小常用的方法。3已知a,b,c是实数，函数f(x)=ax