主元思想在含参问题中的应用学习指导不分本

主元思想在含参问题中的应用http:/www.DearEDU.com余红丹 含参数问题通常含有两个或两个以上变元，我们在解题中可视其中一个为主元，其余视为参数，化多元问题为一元问题，常可降低思维难度。 1. 主元与次元互换 一般地，可把已知范围的那个量看作自变量，另一个看作常量。 例1. 对于的一切实数，不等式恒成立，求x的取值范围。 分析：习惯上把x当作自变量，记函数y，于是问题转化为当时，恒成立，求x的范围。解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是比较复杂的。若把x与p两个量互换一下角色，即将p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为关于p的一次函数在0，4内大于0恒成立的问题。 解：设。 显然时不满足题意， 由题设知当时，恒成立， 所以只要，且 即且 解得或 例2. 设方程上有实根，求的取值范围。 分析：本题若直接由条件出发，利用实根分布条件求出a，b满足的条件，视为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合，亦可获解，但过程繁琐。考虑到变量a，b是主变量，反客为主，视方程为aob坐标平面上的一条直线l：，P（a，b）为直线上的点，则即为|PO|2，设d为点O到直线l的距离，由几何条件知 因为，令， 则， 且易知函数在上为增函数。 所以 即。 2. 常元与变元互换 在一个含有变元的式子中，有时将常数视为变元，也即将主要变元视为常数，可产生出乎意料的解题效果。 例3. 已知，求证。 证明：令，于是得到关于x的方程。若，由已知，知方程的判别式。所以方程有两个相等的实根， 所以 所以 所以 即 若，则由题设两式易知，可见也成立。 点评：本题若用三角公式证明，不仅代换复杂，而且很难找出A、B、C之间的关系。这里注意观察条件，发现是方程的两个相等实数根，从而利用判别式和韦达定理的知识使本题获解。 例4. 已知二次方程0中的a为正整数，问a取何值时，此方程至少有一个非负整数根。 分析：按常规，先求出方程的根，再由此式讨论方程至少有一个非负整数根的条件，这是较为困难的。若把a视为主元，解法将变得易行。 解：把a视为主元，则方程可改写为关于a的一次方程，于是。 因为a为正整数，所以 即 解得 又x是非负整数，所以，或，而当x0时，；x1时，a1。故当a1时，此方程至少有一个非负整数根。 3. 多元问题确定主元 含多个参数的问题，可适时确立不同的主元，以达到求解之目的。 例5. 已知，集合A1，1，设关于x的方程的两根为，试问是否存在实数m，使得不等式对任意恒成立？若存在求出m的取值范围，若不存在请说明理由。 分析：本题含有3个参数a，m，t，可在不同解题阶段确立不同的主元，隐去另两个参数，从而将问题解决。 解：由得 因为 所以 又 而 所以 由不等式恒成立 所以， 即恒成立。 记， 则恒成立 所以 得 所以存在实数m满足题意。 例6. 已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为1，表面积为，求长方体的体积的最值。 解：设三条棱长分别为x，y，z，则长方体的体积Vxyz。由题设有 所以 故体积V（x） 下面求x的取值范围。 因为， 所以y、z是方程的两个实根。 由 因为 所以当时，； 当时，。