湖南省常德市届高三数学上学期检测考试试题文

湖南省常德市2019届高三数学上学期检测考试试题 文（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解不等式求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得；由，解得，故.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数（是虚数单位），则的实部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解】，z的实部为故应选B【点睛】数运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.如图是一个边长为5的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷500个点，其中落入黑色部分的有300个点，据此可估计黑色部分的面积为 （ ）A. 17B. 16C. 15D. 14【答案】C【解析】【分析】利用面积比列方程，解方程求得黑色部分的面积.【详解】设黑色部分的面积为，则，故选C.【点睛】本小题主要考查面积测算的问题，考查方程的思想，属于基础题.4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入，则输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运行程序进行计算，当时，退出程序，输出的值.【详解】运行程序，判断否，判断否，判断是，输出，故选B.【点睛】本小题主要考查计算程序框图输出结果，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知函数，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数的周期为B. 函数的图像关于点对称C. 将函数的图像向右平行移动个单位得到函数的图像D. 函数的图像关于直线对称【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的性质，对四个选项逐一分析，由此得到说法不正确的选项.【详解】的最小正周期为，故A选项正确.，故B选项正确. 将函数的图像向右平行移动个单位得到函数，故C选项正确.，故不是的对称轴，即D选项说法错误.所以本小题选D.【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查三角函数的对称性，考查三角函数图像变换，属于基础题.6.张丘建算经卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）A. 56B. 52C. 28D. 26【答案】D【解析】【分析】根据题意设出等差数列的公差，然后利用前项和列方程，解方程求得的值，由此求得的值.【详解】等差数列的首项，设公差为，故，解得，故.故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查中国古代数学文化，属于基础题.7.已知，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断出小于零数，然后判断出到之间的数，最后判断出大于的数，由此得出的大小关系.【详解】由于，故，故选A.【点睛】本小题主要考查对数比较大小，考查“，”分段法，属于基础题.8.已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，为的中点，若，则点到轴的距离为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式列方程组，由此求得到的距离.【详解】设，根据抛物线的定义和中点坐标公式，有，故，也即到的距离为.故选A.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查中点中点坐标公式，属于基础题.9.如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图判断出几何体的结构，进而求得几何体的体积.【详解】等边三角形的高为，由三视图可知，该几何体的左边是一个三棱锥，右边是一个半个圆锥，由此可求得几何体的体积为 ，故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查锥体体积计算公式，考查运算求解能力，属于基础题.10.函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，以及函数图像上的特殊点，对选项进行分析和排除，由此得出正确选项.【详解】，定义域为，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除两个选项.，排除D选项，故选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题.11.在中，角的对边分别为，已知，且，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得三角形的面积.【详解】由正弦定理得，由于，故上式化简得，由于是三角形内角，故.由余弦定理得，故，所以三角形的面积为.故选B.【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式以及三角形内角和定理，考查方程的思想，属于中档题.12.已知双曲线：的左焦点为，为曲线的左、右顶点，点在曲线上，且轴，直线与轴交于点，直线与轴交于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】依题意得到点的坐标，计算出直线的方程，由此求得两点的坐标，利用列方程，化简求得离心率.【详解】由于轴，不妨设，而.故直线的方程分别为，令，求得，由于，故，化简得，故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线方程的求法，属于中档题.第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.设向量，且，则_【答案】【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】，由于，所以，即，解得，故.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题.14.已知，且满足，若的最大值为_【答案】8【解析】【分析】画出可行域，向下平移到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知直线l：kxy+2k10与圆x2+y26交于A，B两点，过A，B分别作直线l的垂线与y轴交于C，D两点，若|AB|，则|CD|_【答案】【解析】【分析】由|AB|，可得r2d22，即，得k，即tan,过D作DHAC于H，则HDAB，在RtDHC中，计算CD即可.【详解】如图所示，设圆心到直线l的距离为d，由|AB|，可得r2d22,d2，即，解得k,直线AC的斜率为，可得tan，过D作DHAC于H，则HDAB,在RtDHC中，CD.故答案为：【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，转化为解直角三角形是关键，属于中档题16.已知函数为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】利用奇偶性求得函数在时的解析式，然后利用导数求得切线方程.【详解】设，则，由于函数为偶函数，故.，故切线方程为，即.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于基础题.三、解答题（本大题共70分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等比数列的各项均为正数，且，数列的前项和为.（）求；（）求数列的前项和【答案】（）；（）.【解析】【分析】（I）将已知条件转化为，由此求得的值，进而求得的通项公式.（II）利用求得的表达式，由此求得的表达式，利用分组求和法求的值.【详解】（）设等比数列的公比 即， 解得：或 ，又的各项为正，故 （）设，数列前n项和为.由解得. .,.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查数列通项公式的求法，考查分组求和法，所以中档题.18.如图，在四棱锥中，平面， ，.()证明：平面平面；()若的面积为，求三棱锥的体积.【答案】()证明见解析；().【解析】【分析】（I）利用勾股定理证明，根据平面证得，由此证得平面 平面.（II）利用三角形的面积列方程求得的长，然后计算出三棱锥的体积.【详解】()在直角梯形中， =， ， , 平面，平面， ，又 平面，又平面，平面 平面 .()设，=， ,又 .【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积计算，属于中档题.19.某地因受天气，春季禁渔等因素影响，政府规定每年的7月1日以后的100天为当年的捕鱼期.某渔业捕捞队对吨位为的20艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计，如下表所示：捕鱼量(单位：吨)频数27731根据气象局统计近20年此地每年100天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表（捕鱼期内的每个晴好天气渔船方可捕鱼，非晴好天气不捕鱼）：晴好天气(单位：天)频数27632（同组数据以这组数据的中间值作代表）（）估计渔业捕捞队吨位为的渔船一天的捕鱼量的平均数；（）若以（）中确定的平均数作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼量.估计一艘上述吨位的捕鱼船一年在捕鱼期内的捕鱼总量；已知当地鱼价为2万元/吨，此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时，每天成本为10万元/艘；若不捕鱼，每天成本为2万元/艘，请依据往年天气统计数据，估计一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率.【答案】（）16吨；（）1168吨；.【解析】【分析】（I）先计算出总的捕鱼量，然后除以，得到平均数.（II） 先计算出近年晴好天气数的平均值，乘以每天捕鱼量的平均数，得到一年捕鱼总量的估计值. 先求得年利润的表达式，利用年利润不少于列不等式，解不等式求得需要晴好天气天数，再根据表格数据求得概率.【详解】（）此吨位的捕鱼船一天的捕鱼量的平均数为：吨 ,（）此吨位的捕鱼船20年的此地的晴好天气天数的平均值为：天 又吨所以预计一艘上述吨位的捕鱼船下一年在捕鱼期内的捕鱼量大约1168吨 .设每年100天的捕鱼期内晴好天气天数为则年利润为由得：.一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元，即捕鱼期内的晴好天气天数不低于75，又100天捕鱼期内的晴好天气天数不低于75的频率为预测一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率为.【点睛】本小题主要考查由频数分布计算平均数，考查古典概型的计算，属于基础题.20.已知椭圆的离心率为，下顶点为，为椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的周长为.（I）求椭圆的方程；(II)经过点的直线与椭圆交于不同的两点 (均异于点)，试探求直线与的斜率之和是否为定值，证明你的结论.【答案】（I）；(II) 证明见解析.【解析】【分析】（I）根据离心率和三角形的周长列方程，解方程求得的值，进而求得的值，从而求得椭圆方程.（II）先求得直线斜率不存在时，与得斜率之和.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用两点的坐标表示出，化简后得到.由此判断出直线与的斜率之和为定值.【详解】（）由题设知，由椭圆的定义知：的周长为，解得. 故因此，所以椭圆的方程为. （）由题设知，当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，则. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得.由题意知，因此设，则， 故有直线的斜率之和为即直线的斜率之和为定值2.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查斜率公式，考查运算和求解能力，所以中档题.21.已知函数.()讨论函数的单调性；()设，若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】() (1)若，在上单调递增；(2)若，在上单调递增；在上单调递减； ().【解析】【分析】（I）先求得函数的导数和定义域，然后对分成两类，讨论函数的单调性.（II）将原不等式恒成立转化为“对任意的恒成立”，根据（I）的结论，结合函数的单调性，以及恒成立，求得的取值范围.【详解】() ,(1)若，则，函数在上单调递增；(2)若，由得；由得 函数在上单调递增；在上单调递减. ()由题设，对任意的恒成立即对任意的恒成立即对任意的恒成立 ,由()可知，若，则，不满足恒成立,若，由()可知，函数在上单调递增；在上单调递减. ，又恒成立，即, 设，则函数在上单调递增，且，解得的取值范围为 .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，综合性很强，属于难题.请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（I）写出曲线与圆的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知射线分别与曲线及圆相交于，当时，求的最大值.【答案】（I）,；（II）.【解析】【分析】（I）将曲线参数消去转化为普通方程，然后转化为极坐标方程.利用普通方程与极坐标方程的互化公式将圆的普通方程转化为直角坐标方程.（II）由于两个三角形的高相同，故将面积的比转化为，将代入曲线和圆的极坐标方程，求得，由此求得的表达式，利用辅助角公式进行化简，并根据三角函数的值域，求得的最大值.【详解】()曲线的普通方程为，由普通方程与极坐标方程的互化公式的的极坐标方程为：，即. 曲线的极坐标方程为： . ()因为与以点为顶点时，它们的高相同，即 ,由()知，所以 ,由得，所以当即时，有最大值为,因此 的最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查普通方程转化为极坐标方程，考查三角形面积的比，考查极坐标系下长度的计算，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.()当，求不等式的解集；()若函数满足，且恒成立，求的取值范围.【答案】()；