人教高考数学答卷失误分析

高考数学答卷失误分析例1、若正数a、b满分，则的取值范围是。分析：不少考生分别填写，他是这样做的：因为a，b是正数，当时取等号，得。故由，由于不清楚9是的最大值不是最小值，因此，有的就填，或，或填写。虽然有的填写，但只是有碰运气猜对了，上面的解法是错误的。正确的解法：因为a、b是正数，所以，由，得：，即故的取值范围是。解答题共六道题，考生得分情况见上表，考生解答时错误分析如下：例2：解不等式。分析：将不等式转化为等价的不等式组由得由得 由得 由此得 当时，得所求的解为；0当时，得所求的解为。考生答卷的主要错误：（1）将已知不等式只转化为不等式，丢掉了不等式和，下面只求解得解。这里不等式和原不等式是不等价的，故所求的解也是错误的。（2）乱用不等式的符号，造成错误。有的考生将，写成；有的将写成；有的将写成为 照此解下去，所得结果也是错误的。（2）当得之后，下面的求解时，有的考生不清楚要对底数要分和分别求解造成解答的错误。（4）有不少考生最后写解集时，将，写成，丢掉了，这是概念的错误造成的。例3：设复数，求函数的最大值以及对应的值。分析：首先要搞清楚题中的数学符号表示的是什么？由知分别是复数z的实部和虚部，是复数z的辐角主值。由题设，知，函数表示的角，求函数的最大值就是求角的取值的最大值，求角的取值范围就要转化为这个角的三角函数。这就要确定的范围，利用三角函数的单调性求解：，。在上具有单调性的三角函数是正切函数和正弦函数。因此，可得下面的解法：方法一：当且仅当时，即tg时，上式取等号。所以当时，取最大值。由，由于在内正切函数是增函数，故函数也取得最大值。方法二：由方法一中得在方程中，若，则，相矛盾。故，方程为关于的二次方程，且存在的实数解。判断式，得，解得的最大值为。将=代入方程，解出。方法三：设，则当且仅当取等号，所以时，的最大值为。由于，根据在内是增函数，得函数y的最大值为。方法四：由方法一的式得 即点连线的斜率，如图1，当连线与单位圆上半部相切时， k取得最大值。 tgy的最大值为。由=知由tgy的的单调性，知y的最大值为。考生答卷的主要错误：本题满分12分。而北京市抽样考生平均得分为2.633分，得分是很低的。错误也是多种多样，主要的错误如下：（1）对复数的基本概念不清楚。表示的什么？由知，。有的考生写成，这实际上是把复数z的实际和虚部搞错了，造成往下无法求y。（2）有的考生的表示的角，但如何求这个角的最值不清楚，不知道转化这个角的三角函数。造成无法求解。（3），不少没有转化为，而转化为，把问题复杂化，结果没能求出解来。（4）忽略计论正切函数的单高调性，函数取最大值时，就认为y也取得最大值。例4、如图2，已知正四棱柱，点E在棱上，截面EA，且面EAC与底面ABCD所成的角为45，AB=。（）求截面EAC的面积；（）求异面直线与AC之间的距离；（）求三棱锥的体积。分析：本题是立体几何中的党见题型，对于第（）、（）问多数考生都能做出来，但在推理过程中有不够严谨，造成有考生不能得满分。对于第（）问，多数考生做的不好，丢分比较严重，主要原因是不知如何求三棱锥的体积。下面介绍三种求法：方法一：如图2，连，由知是正方形。连交DB于P，交EO于Q。下面证明是三棱锥的高。方法二：连结，则如图3，在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D，BD的中点，则方法三：用体积分割法。如图2，知考生做第（）问失误，主要是多数考生用方法一做的，没有用方法二和方法三，也就是体积分割的思想不明确。在用方法一做的，主要是没有证明B1Q是三棱锥B1EAC的高，或者证明有误而造成失分。方法二和方法三用体积分割的变换思想就比较简便，通过计算就可解决，其中方法二最为简便。因此，在解决问题中要注意探索较为简便的方法，简捷运算途径是非常重要的，实际上这就是能力高低的表现。在高三总复习过程中，对有些题目只满足于会做是不够的，一定注意探求较好的方法和途径。例5：图4为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。（）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过。问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm，若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为。为了便于检修，请计算并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）。轧辊序号k1234疵点间距（单位：mm）1600分析：该题是数学建模，要建立数学模型，关键是理解题意，理解带钢的输入和输出的减薄过程。将减薄过程数学化，例入数学关系式。（）将生产过程列表如下轧辊第一对第二对第三对第n对输入原度12输出原度123减薄率于是得将以上各式两边分中辊相乘，得因此，至少需要安装来小的整数对轨辊。（）方法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为。而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为。因宽度相等，且无损耗，由体积相等得：即。由此得。填表如下：轧辊序号k1234疵点间距（单位：mm）3125250020001600方法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有即所以同理（填表格）例6，已知函数的图象是自原点也发的一条折线。当时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义。（）求和的表达式；（）求的表达式，并写出其定义域；（）证明：的图象与的图象没有横坐标大于1的交点。分析：首先要理解题意，有三层意思：是自原点出发的一条折线：当时，的图象为斜率为的线段； 数列满足。解：（）依题意当时，函数的图象斜率的线段故由，得。由时，函数的图象是斜率为b的线段。故由由函数的图象中第n线段的斜率为，故得，又故知数列这等比数列，首项为1，公比为。因为，得（）当时，由（）知，即当；当时，此时此时，又。有此时是一个分数函数，有无究多段，其定义域决定于。当时，当时，综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为。（）当时，与重合，如图5当时，下面分和两种情况。当时，由，又而直线的斜率为1。故当时，无交点。当时，知，故当时无交点。即两图象没有横坐标大于的交点。例7，如图6，给出定点和直线，B是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。分析：本题是条件轨迹问题，关键是将给出的几何条件进行代数化。找出曲线与方程的对应关系。确定轨迹的方程，然后再对方程中参数a的取值进行分类讨论，从而确定方程所表示的曲线类型。本题的解法的较多，主要是对给出几何条件理解的角度不同，入手的方法不同，从而有各种解法方法。方法一：依题意，记，则直线OA和OB的方程分别和，设动点，由OC平分AOB，知点C到OA、OB的距离相等，得又点在直线AB上，故有由 ，得 将式代入式，得整理得，若，则若，则，点C的坐标为（0，0），满足上式，综合得点C的轨迹方程为：（1）当时，轨迹方程化为，表示抛物线弧段；（2）当，轨迹方程化为所以，当时，方程表示椭圆弧段； 当时，方程表示双曲线一支的弧段。方法二：如图7，设D是l与x轴的交点，过点C作CEx轴（1）当时，设C（x,y）, 则，y由CEBD，得， 又整理得：（2）当时，点C坐标为（0，0），满足上式。综合（1）、（2），得点C的轨迹方程为：以下同方法一（略）方法二：设C（x,y）、B（1，b），则又OA到OC的