全国I卷·理科与

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷1至2页，第II卷3至9页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷考生注意：1答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选择题1函数的定义域为（ ） ABCD【解析】C. 由得或；2汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）【解析】A 根据汽车加速行驶，匀速行驶，减速行驶结合函数图象可知。3在中，若点满足，则（ ）A B C D【解析】 A. ，4设，且为正实数，则（ ）A2B1C0D【解析】D 5已知等差数列满足，则它的前10项的和（ ）A138 B135 C95 D23【解析】C6若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则A B C D【解析】B. 7设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A2 B C D【解析】D. ,8为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位【解析】A ，只需将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像。9设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）A BC D【解析】D由奇函数可知，而，则， 当时，； 当时，又在上为增函数，则奇函数在上为增函数，（考虑到）.10若直线通过点，则（ ）A B C D【解析】D（两种方法均为构造法）（方法一）：利用点（利用坐标原点到直线的距离与圆的半径的关系）由题意知直线与圆有交点，则.（方法二）：设向量，由题意知由可得11已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）A B C D【解析】B（方法一）：由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，在平行四边形中，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.（方法二）：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为，长度均为，平面的法向量为,。设法向量与的夹角为，底面与的夹角为，有。所以。DBCA12如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A96B84C60D48【解析】B. （方法一）：分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；种四种花有种种法.共有。（方法二）：按顺序种花，可分同色与不同色有。第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13若满足约束条件则的最大值为 【解析】9解题过程中要主要斜率大小的比较如图，作出可行域，作出直线，将平移至过点处时，函数有最大值9.14已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 【解析】2. 由抛物线的焦点坐标为为坐标原点得，则与坐标轴的交点为，则以这三点围成的三角形的面积为。15在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 【解析】. 设，则，。16题图（1）16等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 【解析】 . （方法一）：综合法（略解）证明四棱锥为正四棱锥（略）。过点N作NMDE（M为垂足，且为DM中点）易知四边形NPME为平行四边形，NP=ME 为所求的角。令AB=2，在中，由余弦定理可求得所成角的余弦值等于。（方法二）：设，作，则，为二面角的平面角，结合等边三角形与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则,故所成角的余弦值16题图（2）（方法三）：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点,，则，故所成角的余弦值。三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）设的内角所对的边长分别为，且（）求的值；（）求的最大值【解析】（）由正弦定理得 依题意得整理得（）由（）得，故都是锐角，于是且当时，上式取等号因此的最大值为18（本小题满分12分）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：；（）设与平面所成的角为，求二面角的大小【解析】 解法一：（）作，垂足为，连接，由题设知，底面，且为的中点，由知，从而，于是由三垂线定理知，（）由题意，所以侧面，又侧面，所以侧面侧面，作，垂足为，连接，则平面故为与平面所成的角，由，得又，因而，所以为等边三角形作，垂足为，连接由（）知，又，故平面，是二面角的平面角，则，二面角为解法二：（）作，垂足为，则底面，且为的中点，以为坐标原点，射线为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系设由已知条件有，所以，得（）作，垂足为，连接设，则，故又，所以平面，是与平面所成的角，由，得又，所以，所以为等边三角形，因此作，垂足为，连接在中，求得；故又，所以与的夹角等于二面角的平面角由，知二面角为19（本小题满分12分）已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围【解析】（），判别式（）若或，则在上，是增函数；在内，是减函数；在上，是增函数（）若，则对所有都有，故此时在是增函数（）若，则，且对所有的都有，故当时，在上是增函数（）由（）知，只有当或时，在内是减函数因此当时，由、解得因此的取值范围是20（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验（）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（）表示依方案乙所需化验次数，求的期望【解析】记分别表示依方案甲需化验1次、2次，分别表示依方案乙需化验1次、2次，表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙需化验次数。依题意知与独立。（），所以（）的可能取值为，所以（次）21（本小题满分12分）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程【解析】（）设双曲线方程为，右焦点为，则不妨设，则，因为，且，所以，于是得又与同向，故，所以解得，或（舍去）因此所以双曲线的离心率（）由知，双曲线方程可化为由的斜率为知，直线的方程为将代入并化简，得设与双曲线的两交点的坐标分别为，则被双曲线所截得的线段长将代入并化简得，而由有已知，故，所以双曲线方程为：22（本小题满分12分）设函数数列满足，（）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；（）设，整数证明：【解析】（