四川卷·理科与考试

2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医类）全解全析本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，第卷第1至第2页，第卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。2. 答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3. 答第卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次实验中发生的概率是，那么 次独立重复实验中事件恰好发生次的概率其中R表示球的半径第卷一选择题1设集合，则( B )（）（）（）（）【解】 又 故选B【考点】此题重点考察集合的交集，补集的运算；【突破】画韦恩氏图，数形结合2复数( A )（）（）（）（）【解】 故选A；【点评】此题重点考复数的运算；【突破】熟悉乘法公式，以及注意；3( D )（）（）（）（）【解】 故选D；【点评】此题重点考察各三角函数的关系；【突破】熟悉三角公式，化切为弦；以及注意4直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为( A )（） （）（） （）【解】直线（设倾斜角为）绕原点逆时针旋转的直线斜率为，直线方程为，从而淘汰（），（D） 又将向右平移个单位得，即 故选A；【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；5若，则的取值范围是：( C )（） （） （） （）【解】 ，即又 ， ，即 故选C【考点】此题重点考察三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用，以及正余弦函数的图象；【突破】熟练进行三角公式的化简，画出图象数形结合得答案；6从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( C )（）种（）种（）种（）种【解】（方法一）：从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法； 从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有种不同挑选方法 故选C；（方法二）：分甲、乙同学有一人和两人参加讨论【考点】此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；7已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(D )（） （）（） （）【解1】等比数列中 当公比为1时， ； 当公比为时， 从而淘汰（）（）（）故选D；【解2】等比数列中 当公比时，； 当公比时， 故选D；【考点】此题重点考察等比数列前项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；【突破】特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；8设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂线于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为 ( D )（）（）（）（）【解】设分别过作垂线于的面截球得三个圆的半径为，球半径为，则： 这三个圆的面积之比为： 故选D【点评】此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系；【突破】画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；9设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有 ( B )（）1条（）2条（）3条（）4条【解】如图，当时，直线满足条件； 又由图形的对称性，知当时，直线满足条件； 故选B【点评】此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；【突破】数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形的对称性；10设，其中，则是偶函数的充要条件是 ( D )（）（）（）（）【解】（方法一）：是偶函数 由函数图象特征可知必是的极值点， 故选D（方法二）：由偶函数的定义可得：，而【点评】此题重点考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系；【突破】画出函数图象草图，数形结合，利用图象的对称性以及偶函数图象关于轴对称的要求，分析出必是的极值点，从而；11设定义在上的函数满足，若，则( C )（） （） （） （）【解】且 ， ， 故选C【点评】此题重点考察递推关系下的函数求值；【突破】此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解；12已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为 ( B )（） （） （） （）【解】抛物线的焦点为，准线为 设，过点向准线作垂线，则 ，又由得，即，解得的面积为， 故选B【点评】此题重点考察抛物线的第二定义，抛物线中与焦点，准线有关三角形问题；【突破】由题意准确化出图象，利用离心率转化位置，在中集中条件求出是关键；第卷二填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。13展开式中的系数为_【解】展开式中项为 所求系数为 故填【点评】此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；【突破】利用组合思想写出项，从而求出系数；14已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_【解】如图可知：过原心作直线的垂线，则长即为所求；的圆心为，半径为， 点到直线的距离为 ，故上各点到的距离的最小值为【点评】此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；【突破】数形结合，使用点到直线的距离距离公式。15已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于_。【解】如图可知： 正四棱柱的体积等于【点评】此题重点考察线面角，解直角三角形，以及求正四面题的体积；【突破】数形结合，重视在立体几何中解直角三角形，熟记有关公式。16设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_。【解】等差数列的前项和为，且 即 ， 故的最大值为，应填【点评】此题重点考察等差数列的通项公式，前项和公式，以及不等式的变形求范围【突破】利用等差数列的前项和公式变形不等式，利用消元思想确定或的范围解答本题的关键三解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）求函数的最大值与最小值。【解】由于函数在中的最大值为 ，最小值为 ，故当时取得最大值，当时取得最小值【点评】此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；18（本小题满分12分） 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。【解】记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（） （） （），故的分布列， 所以【点评】此题重点考察相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期望；【突破】分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用；19（本小题满分12分） 如，平面平面，四边形与都是直角梯形，（）证明：四点共面；（）设，求二面角的大小。【解法一】（）延长交的延长线于点，由得 ，延长交的延长线于同理可得 故，即与重合因此直线相交于点，即四点共面（）设，则，取中点，则，又由已知得，平面故，与平面内两相交直线都垂直所以平面，作，垂足为，连结由三垂线定理知为二面角的平面角。故所以二面角的大小【解法二】由平面平面，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系（）设，则故，从而由点，得，故四点共面（）设，则， 在上取点，使，则，从而又在上取点，使，则，从而，故与的夹角等于二面角的平面角，所以二面角的大小【点评】此题重点考察立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考察空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；【突破】熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键。20（本小题满分12分） 设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式【解】由题意知，且，两式相减得，即 （）当时，由知于是，又，所以是首项为1，公比为2的等比数列（）当时，由（）知，即 当时，由得因此得【点评】此题重点考察数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考察分类讨论思想；【突破】推移脚标两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键。21（本小题满分12分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，。（）若，求的值；（）证明：当取最小值时，与共线。【解】由与，得 ，的方程为，设则，由得 （）由，得 ， ， 由、三式，消去，并求得故（），当且仅当或时，取最小值此时，故与共线。【点评】此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用；【突破】熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。22（本小题满分14分）已知是函数的一个极值点。（）求；（）求函数的单调区间；（）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。【解】（）因为， 所以 因此（）由（）知， 当时，当时，所以的单调增区间是，的单调