上海高三数学八校第二次联考人教

2006届上海市高三数学八校第二次联考试卷（松江二中、青浦、七宝、育才、市二、行知、进才、位育）一、 填空题：1 已知复数满足，则 。2 方程的解是 。3 抛物线的焦点坐标为 。4 在极坐标系中，直线截圆所得的弦长为 。5 某校要组建一个20人的志愿者服务队，全校18个班级每班至少有1人参加，则志愿者服务队中有3人来自同一个班级的概率为 。（结果用分数表示）6 若的展开式的中间项为，则 。7 对一切正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。8 已知在区间上的反函数是其本身，则区间可以为 。（或等）9 在中，已知，且，则面积的最大值为 。10、已知函数的最大值为，其相邻两对称轴间的距离为，则 。11、已知是定义在上的函数，请给出能使命题：“若，则 ”成立的一个充分条件： 。12、哥德巴赫(Goldbach.C.德 1690-1764)曾研究过“所有形如的分数之和”问题。为了便于表述，引入记号：，写出你对此问题的研究结论： 。（用数学符号表示）二、选择题：13、集合，若时，则运算可能是 （ D ） （A）加法 （B）除法 （C）减法 （D）乘法14、如图，四棱锥中，是正方形，底面，分别是、的中点，则异面直线所成角的大小为 （ C ） （A） （B） （C） （D）15、在直角坐标平面中，过定点的直线与圆交于A、B两点，若动点，满足，则点的轨迹方程为 （ B ） （A） （B） （C） （D）16、已知元集合，设中所有含3个元素的子集的元集之和为，则 （ C ） （A）（B）（C）（D）三、解答题：17、如图，图（1）是一个正方体的表面展开图，是两条面对角线。（1）请在图（2）的正方体中画出；并求此时所成角的大小；（2）求四面体的体积与正方体的体积之比。（说明：求角与体积时若需画辅助图，请分别画在图（3）、（4）中。）解:(1)在正方体中画出、 (如图2)，连、（如图3），则，即为异面直线所成的角，易知为等边三角形，所成角的大小为。（2）连四面体的各棱（如图4），设正方体的棱长为，则。18、已知复数，,设集合，若，求实数的取值范围。解：， ，。19、政府决定用“对社会贡献率”对企业进行评价，用表示某企业第年投入的治理污染费用，用表示该企业第年的产值。设（万元），且以后治理污染费用每年都比上一年增加（万元）；又设（万元），且企业的产值每年均比上一年增长，用表示企业第年“对社会贡献率”。（1）求该企业第一年和第二年的“对社会贡献率”；（2）试问：从第几年起该企业“对社会贡献率”不低于？解：（1）， 即该企业第一年和第二年的“对社会贡献率”分别为和。 （2）， ，即为递增数列，又，从第年起该企业“对社会贡献率”不低于。20、以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的坐标系。若，点的坐标为，点的坐标为。（1）若以为中心，为顶点的双曲线经过点，求当取最小值时双曲线的方程；（2）过点能否作出直线，使与双曲线交于两点，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。解：（1）， 即时，取最小值，此时，设双曲线的方程为， 则，取最小值时双曲线的方程为。 （2）若存在满足条件的直线：，设， 即， 由， ，即不存在满足条件的直线。21、已知函数（，为正整数），数列满足：。（1）求数列的通项公式；（2）当与这两项中至少有一项为中的最小项时，求的值；（3）若数列满足对任意的正整数，都有成立，求数列中的最大项。解：（1） 。 （2），与这两项中至少有一项为中的最小项， ，即，为正整数，。 （3）由，得， 两式相减，得，又， 。 当最大时， ，为正整数， 若为偶数，则取或，此时， ，数列中的最大项为。 若为奇数，则取，此时， ，数列中的最大项为 。22、分别表示实数中的最小者和最大者。（1）作出函数的图像；（2）在求函数的最小值时，有如下结论；。请说明此结论成立的理由；（3）仿照（2）中的结论，讨论当为实数时，函数的最值。解：（1） （2）的图象是由一些折线（段）组成，它的最值只可能在图象的转折点处取得， 。 （3） ）若， 当时，递减，； 当时，为一次函数或常数函数，； 当时，为一次函数或常数函数，； 当时, 递增，。 当时，函数有最小值，无最大值， ）若