实数与向量的积例题解析人教

实数与向量的积例题解析一. 本周教学内容：实数与向量的积二. 重点、难点：1. 实数与向量的积的定义和运算律2. 向量共线的充要条件3. 平面向量的基本定理【典型例题】例1 设、是两个不共线的向量，已知：，若A、B、D三点共线，求实数K的值。解： 由三点A、B、D三点共线等价于向量与共线，由向量共线的充要条件知，存在实数，使得，即 由平面向量的基本定理，则有 解得例2 证明向量、的终点A、B、C共线的充要条件是，其中实数、满足。证明：先证必要性，如图若A、B、C三点共线，则与共线，由向量共线的充要条件知：存在实数，使得。 即 令，则有，且 再证充分性，由，且，则 故有注：上述结论可推广为以下一段形式，对于，向量与共线的充要条件是与共线。 事实上，若与至少有一个为时，命题显然成立，下面对与均不为时加以证明。 充分性，由，则存在唯一，使，故 若，则，故 与共线 若，则 故与共线必要性，当时，由，则，即当时，则存在唯一，使 由，故，则 故例4 如图，O是平行四边形ABCD中心，E、F分别在边AB、CD上，且，用向量方法证明E、O、F三点共线。证明：设 故 即与共线例5 如图，在中，BN与CM相交于P，设，试用、表示。解：由已知 由M、P、C三点共线，则存在唯一，使 则 于是 设 同理故有 由与不共线，故解得： 所以例6 已知点P为内一点，且，设，。（1）用、表示（2）延长AP交BC于D，用、表示解：（1）由已知 又由 则 即 （2）设 则 设，则 由于，又由与不共线则 即例7 如图的重心为G，O为始点，设、，试用、表示。解：由D为BC中点，则 又由G为重心，则，而， 即 一. 选择题：1. 如果、是平面内所有向量的一组基底，那么以下命题中正确的是（ ）A. 若实数、满足，则B. 对平面内的任一向量，使的实数、有无数对C. 对实数、向量不一定在平面内D. 空间任一向量都可以表示为此处、是实数2. 命题P：及点G满足，命题：G是的重心，则P是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知G1、G2分别是与的重心，且，则等于（ ）A. B. C. D. 4. 设命题P：向量与共线，命题：有且只有一个实数使得，则是的（ ）条件A. 充非必 B. 必非充 C. 充要 D. 非充非必二. 填空题：5. 若，则 ，当P是AB的三等分点（离A较近），则 。6. 已知与不共线，（），则M、N、P共线的充要条件是 。7. 设，为两非零不共线向量，若向量与共线，则K= 。三. 解答题：8. 在中，D是内分的AB边为的点，E是内分边AC为的点，F为线段BE与CD交点，设，试用向量、表示。9. 已知E是平行四边形边BC的中点，AE交BD于F，求证。参考答案http:/www.DearEDU.com一. 选择题：1. A 2. C 3. B 4. B二. 填空题：5. ；6. ，由，即解得7. ，由，即解得三. 解答题：8. 解：如图 由C、F、D共线，故存在使 又由，故存在使 即