四川棠湖中学高二数学期中考试理

数 学（理科）（全卷满分：150分 完成时间：120分钟）I卷 （选择题 共60分）一选择题(每小题5分，共60分)1、已知点A(2008,5,12)，B(14,2,8)，将向量按向量=(2009, 4, 27)平移，所得到的向量坐标是( )(A)(1994,3,4) (B)(-1994,-3,-4) (C)(15,1,23) (D) (4003,7,31)2、(1+2x)8的展开式中第四项的二项式系数是( )(A) (B) (C) (D)3、1!+22!+33!+20082008!=( )(A)2009!-1 (B)2010!-1 (C)2011!-1 (D)2012!-1 4、(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7+(1+x)2009的展开式中x5的系数是( )(A) (B) (C) (D)5、已知如右图，空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN， =x+y+z,则x+y+z=( ) (A) (B) (C)1 (D) 6、 (2x+3)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a8(x+1)8，则a0+a2+a4+a6+a8=( )(A)6562 (B)3281 (C)3280 (D)6560 7、根据教学科学安排,学校每天上午上4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A、B、C、D、E、F6名教师中安排4人分别到某班各上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有( ) (A)24种 (B)36种 (C)48种 (D)72种8、设a、b是两条不同的直线，a、b是两个不同的平面，有下列四个命题：若ab，aa，则b/a 若a/a，ab，则ab 若ab，ab，则a/a 若ab，aa，bb，则ab 其中正确的命题的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 9、甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了4次，则第4次仍传回到甲的概率是( ) (A) (B) (C) (D)10、从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的数有( ) (A)360个 (B)720个 (C)300个 (D)240个11、在正方体上任取三个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰三角形的概率是( ) (A) (B) (C) (D)12、若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生十进位现象，则称n为“良数”。例如：32是“良数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“良数”，因23+24+25产生进位现象。那么，小于1000的“良数”的个数为( ) (A)27 (B)36 (C)39 (D)48 .II卷 （共90分）二填空题（每小题4分，共16分）13、(x+)11，展开式中的常数项是 。（用数字作答）14、位于某纬度圈上的A、B两地经度相差90，且A、B两地间的球面距离为R(R为地球半径)，那么A、B两地所在纬度圈的纬度数是 。15、将红、黑、白三枚棋子放入如图55的方格内，要求任意两枚棋子既不同行又不同列，则不同放法有 种。16、如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，下列结论中正确的序号是 。AB与CD所在直线垂直；CD与EF所在直线平行；AB与MN所在直线成60角；MN与EF所在直线异面。数 学（理科）（全卷满分：150分 完成时间：120分钟）二、填空题（每小题4分，共16分）13： 14： 15： 16： 三、解答题（本大题共6个小题,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤）17(本小题满分12分)在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E、F分别为BC、PD的中点，PA=AB。 (1)求证：EF/平面PAB； (2)求直线EF与平面PCD所成的角。18(本小题满分12分)高中2010级某数学学习小组共有男生4人,女生3人.(1)7个人站成一排,甲、乙两人中间恰好有2人的站法有多少种?(2) 排队合影, 男生甲不站两边,女生乙、丙必须相邻的排法总数为多少?(3) 7人站成一排,甲与乙相邻且丙与丁不相邻,有多少种排法?(4)现有6本不同的数学书,平均分发给三名女生, 有多少种分法?(5)今有10个乒乓球(完全相同)分发给这7名同学,每人至少一个,问有多少种不同的分发?(6)4名男生互赠不同的纪念品(自己不拿自己的),有多少种不赠送方式?19(本小题满分12分)如图所示，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4。(1)证明PQ平面ABCD；(2)求异面直线AQ与PB所成的角的余弦值；(3)求点P到平面QAD的距离。20(本小题满分12分)四川512汶川特大地震一周年来临之际,成都灾后重建工作领导小组决定派4个主管部门领导前往成都市极重灾区彭州，都江堰，大邑考察灾后重建工作进展情况。如果4个主管部门领导可对前往的这3个极重灾区地方做任意选择。（1）求4个主管部门领导选择去了3个极重灾区的概率；（2）求4个主管部门领导选择去了2个极重灾区的概率21（本小题满分12分）从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图、从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点.（I） 求四棱锥P-ABCD的体积;（II） 不论点E在何位置，是否都有?证明你的结论；（III） 若E点为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小.22(本小题满分14分)(1)求证：+n=n2n-1 （nN*）(2)设n是满足+(n+1)1时，求证2(1+)n3。数学理科（参考答案）1、B =(-1994, -3, -4)，沿平移后不发生变化2、A 根据项的二项式系数的定义可知选A。3、A 由nn!=(n+1)!-n1 1!+22!+20082008!=(2!-1!)+(3!-2!)+(2009!-2008!)=2009!-1 4、D +=+ =+=5、B =+=+(-)=+(+)-=+ x+y+z=6、B 分别令x=0和x= -2即可。/7、B 考虑第一、四节课老师上课的方案，仅有(A,C)，(B,A)，(B,C)三种，排完第一、四节课后，只需再从剩下的四名老师中选出两人上第二、三节课，故有，因此由乘法原理得不同的方案数有3=36。8、C 对，若ba，则b a，故错；/对，正确；对，若aa，则a a，故错；对，正确。9、A 设第n次传回到甲的不同情况数为an，则a1=0，而每个人向别人传球均有三种传法，故传球n次共有3n种传球方案，所以第n次球未传回到甲的不同情况数为3n-an，由于第n+1次传球到甲，所以第n次球未传给甲，于是an+1=3n-an，a2=3, a3=6, a4=21，其概率为。甲ABC甲法二：如图考虑传球的排列，若B不为甲，则A有种选法，B、C均有种选法，故有=12种。若B为甲，则A、C均有种选法，故有=9种。总计：12+9=21其概率为。10、C 法一：如果末位为0，则只需再选取2个奇数和1个偶数作前三位，其方法数有( )=144。如果末位为5，先假设首位可以为0，则共有()=180，再排除首位为0的个数：()=24。符合要求的四位数共有144+180-24=300。法二：如果末位为0，同上，共有144个；如果末位为5，分两种情况：数字中含有0，且它不作首位：()221=48(因千位、百位、十位的选法依次有2、2、1种)；数字中不含0：()=108。总计：144+48+108=300。11、D 法一：所得三角形是等腰三角形仅有两种可能：形如等腰直角DBCD及形如正三角形BDG。前者共有6=24个；后者共有8个(一个顶点对应一个)其概率为=。法二：考虑非等腰三角形，以A为顶点的非等腰三角形有DABG、DABH、DADG、DADF、DAEF、DAEG、DACG、DAHG、DAFG共9个，对每个三角形，由于它有三个顶点，故被重复计数三次，于是非等腰三角形共有=24个。等腰三角形的概率为1-=。12、D 如果n是良数，则n的个位数字只能是0,1,2，非个位数字只能是0,1,2,3(首位不为0)，而小于1000的数至多三位，故良数有443=48个。(若首位为0，则省略掉这一位) 13、165 通项为Tr+1=()r =x由 =0 r=3 常数项为14、45 如图，AOB=2p=，所以DAOB为正三角形，AB=R，又AOB=90，所以OA=R，OO=R，OAO=45，A、B所在纬度圈的纬度数是45。15、3600种 将第一枚棋子放入有25种方法，第二枚棋子放入与第一枚不同行不同列有16种方法，同理第三枚有9种方法，共有25169=3600种。16、如图，将其还原成一个正方体，则错。由于DABF为正三角形，所以ABF=60，面MN/BF，所以AB与MN成60角，对；对。/=/=17、证明： (1)法一：取PA中点K，连KF、KB，由中位线定理知KF AD BE。四边形KBEF为平行四边形 KB/EF2分而KB平面PAB，EF平面PAB，EF/平面PAB2分法二：证明：Q=-=(+)-(+) =+-2分=+-=-EF/平面PAB 2分法三：取AD中点为M，则MF/AP，ME/AB， 2分又EMMF=M，BAPA=A，面PAB/面EFM 又EF面EMF，EF/面PAB 2分(2)法一：将四棱锥还原成正方体PRST-ABCD(如图) 2分将线段EF按平移成CL，于是只需考虑求直线CL与平面PRCD的夹角。QCD平面PADTCD平面PRCD，平面PADT平面PRCD 2分设L在平面PRCD上的射影为M，则MPDML=，CL=a(设正方体棱长为2a) 2分MCL=arcsin=arcsin 即直线EF与平面PCD的夹角为arcsin.2分法二：如图所示建立空间直角坐标系，设PA=AB=BC=1 则P(0,0,1)，D(0,1,0)，B(1,0,0) ，C(1,1,0)，A(0,0,0) E(1,0)，F(0,) = (-1,0,)，=(0,1,-1)，=(-1,0,0) 2分设面PCD的法向量=(0,x0,y0)，则(0,x0,y0)，(0,1,-1)=0，(0,x0,y0)，(-1,0,0)=0，x0=y0，故可令x0=y0=1。=(0,1,1)2分该法向量与的夹角为q满足cosq=3分EF与平面PCD的夹角为-arccos=arcsin 1分法三：设PA=AB=AD=2，连接AE，AFQPA面ABCD，CD面ABCD PACD 1分而ADCD，AD与PD交于D，CD面PAD，1分又AF面PAD，CDAF 1分又QDPAD为等腰RtD，所以AFPD QPD与CD交于D，AF面PCD，1分EF与面PCD的夹角即为AFE的余角。AF=，AE=，EF=BK=，由余弦定理得cosAFE=3分EF与面PCD的夹角为-arccos=arcsin 1分18、解：(1)甲、乙中间两人的排列数为，而甲、乙位置可以互换，故这四个人的排列数有。将这四人看成一个整体，与剩余3人排站，故有种排列方式。不同站法有=960种。2分法二：甲、乙两人的位置编号(不计顺序)只能是(1,4)，(2,5)，(3,6)，(4,7)四种，对每一种情况，甲、乙排列数为，其余五人排列数为，所以不同站法有=960种。2分(2)男生甲的站法数有种，对每一种，女生乙、丙相邻的站法(不计顺序)均为4种，所以不同站法数为=960。2分(3)法一：若甲、乙相邻，则将甲、乙看成一个整体，则总共的排法数为=1440(相当于只剩下6个人的全排列，而甲、乙可互换)。考虑其中丙、丁再相邻的情况，同上述方法可知有=480种，符合要求的排法有1440-480=960。2分法二：若甲、乙相邻，则将甲、乙看成一个整体，与丙丁以外的三个人排序有，将丙丁插空，则有，共有=960种。2分(4)法一：对第一名女生来说，有种选书的方法；第二名女生有种选书的方法，所以有=90种分法。2分法二：将6本书平均分为三堆，则分法数为=15种，将其再分给三个女生，共有15=90种分法。2分法三：将6本书平均分为三堆，则必有一堆含有A(A、B、C、D、E、F为这六本书)，故只需再选一本与之搭档，选择以后必有一堆含有B或C或D或E或F，只需再选一本与之塔档，故分法数为=15种。再将其分给三个女生，共有15=90种。2分(5)问题可转化为：将10个乒乓球排成一列，再分成7堆，每堆至少一个，求其方法数。事实上，只需在上述10个乒乓球所产生的9个“空档”中选出6个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数。故有种。2分(6)法一：记这四个男生编号为1,2,3,4，则符合要求的方式有(2,1,4,3)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(3,1,4,2)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)共9种，其中(j1,j2,j3,j4)表示i向ji送纪念品(1i4)。2分法二：第一个人有种赠法，而被赠的人除自己外仍有种赠，这样剩下的两人仅有一种赠法符合要求，故有=9种。2分19、(1)证明：由题意，P、Q在平面ABCD的射影均为ABCD的中点O，所以P、O、Q共线，即PQ面ABCD。 3分(2)如图所示建立空间直角坐标系：则A(2,-2,0)，B(2,2,0)，C(-2,2,0)，D(-2,-2,0)，P(0,0,1)，Q(0,0,-2)。(-2,2,-2)，=(2,2,-1) 2分cos= 2分(3)法一：=(-4,0,0)，=(2,-2,2)，取与它们垂直的向量=(0,1,1)，2分而=(2,-2,-1)，所以P到面QAD的距离为= 3分法二：取AD中点E，连接OE，QE 在RtDQEO中，OE=2，OQ=2，QE=2 又QOEAD PO面ABCD OE为QE在面ABCD上的射影 QEAD SDQAD=ADQE=42=4 1分又QAOPQ AOBD AO为A到面PQD的距离且AO=2 SDPQD=PQDO=32=3 1分由VP-QAD=VA-PQD，设P到面QAD的距离为d ,dVDQAD=AOSDPQD 2分d=1分20、解：每个领导可去3个极重灾区之一，所以去的方案总共有34=81种。2分(1)必有一个灾区去了2个领导，其余每个灾区去了1个领导，故方案有=36种2分P1= 2分(2)法一：对于已确定的2个灾区，每个领导有2种选择方法，故总共有24=16种，但其中包含了4个领导同去1个灾区的情况，所以符合要求的方案有=42种4分P2= 2分法二：4个领导同去1个灾区的方案有3种，所以4个领导去了2个灾区的方案有81-36-3=42种4分P2=2分21、解：(I)由三视图知PC面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1 2分VP-ABCD=122= 1分(II)QPC面ABCD，BD面ABCD PCBD 1分而BDAC，ACAE=A，BD面ACE ，1分而AE面ACEBDAE 1分(III)法一：由对称性，二面角D-AE-B是二面角O