山东淄博淄川般阳中学高中数学正弦定理余弦定理的应用学案新人教A必修5

山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 正弦定理余弦定理的应用学案 新人教A版必修5授课时间 年 月 日第 周星期编号课题1.2应用举例课型复习学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题；有关底部不可到达的物体高度测量的问题；有关计算角度的实际问题；解决有关三角形的问题；掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；能证明三角形中的简单的恒等式一.学情调查，情景导入1. 正弦定理：2、余弦定理：二.问题展示，合作探究（一）：测距例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=. 求A、B两点的距离(精确到0.1m). 例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法. 分析：这是例1的变式题，研究的是两个 的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点. 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离. （二）测高：探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法. 分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，要求AB，先求AE在中，可测得角 ，关键求AC在中，可测得角 ，线段 ，又有故可求得AC例3. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)例4. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角为8，求此山的高度CD.问题1;欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题2：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？（三）测角：例5. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1，距离精确到0.01n mile)分析：首先由三角形的内角和定理求出角ABC，然后用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB. （四）面积与证明：探究：在ABC中，边BC上的高分别记为h，那么它如何用已知边和角表示？h=bsinC=csinB根据以前学过的三角形面积公式S=ah，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC， 或S= ，同理S= 新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半例6. 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）：（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5；（2）已知B=62.7，C=65.8，b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm例7. 在ABC中，求证：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）小结：证明三角形中恒等式方法： 应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”三. 达标训练，巩固提升A1. 在ABC中，已知，则ABC的面积是 1：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？2：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57，俯角是60，测得目标B在南偏东78，俯角是45，试求山高.3. 甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.A2. 2. 在ABC中，求证： A3. 4. 某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以1