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慎用导数解数列问题江苏 唐永 徐秀 导数，作为高中数学的新增内容之一，为解题教学和教研注入了新的活力，更是解决函数单调性问题的有力工具.由于数列可看作是特殊的函数，所以许多学生自然而然就想到用导数来解决有关数列单调性问题.但由于未能深入理解导当选知识的背景、吃透其含义，未能准确把握数列单调性与函数单调性的联系和区别，没有对其进行有机地“整合”，从而导致诸多错误.下面摘取学生的几例典型错误，加以分析，旨在引起同行的注意. 例1 已知数列的通项，求数列的最大项. 错解 设，则.令得；得或. 得在区间上是增函数，在区间是减函数. 又，故当时，. 所以，数列的最大项为. 分析；结果是正确的，但其解题过程是错误的，原因是导数是定义在连续函数上的，而对于，是离散函数，不存在导数，因而不能对其求导. 正解 作辅助函数（），则. 令得；得或. 得在区间上是增函数，在区间是减函数. 因此，当时函数取得最大值. 对，.，于是 所以，数列的最大项为. 当然，本题仍可利用数列本身的性质给以解决.若是数列中最大项，则，即，解得.由知时，即数列的最大项为. 例2 已知数列是递增数列，且对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围. 错解 因是递增数列，所以在上是单调递增函数，故辅助函数在上是单调递增函数，有在上恒成立，On123即在上恒成立，故. 分析：以上解答由是递增数列，断定函数在上单调递增是错误的.由于数列通项公式中的是正整数，而不是取内的任意实数，如图，该图象表示的数列显然是递增数列，但此时对称轴，即，并不满足. 正解 由于是递增数列，由数列的单调性知，即对任意恒成立，将代入化简可得，又因为，于是得，即实数的取值范围是. 例3 已知数列的通项为且对所有正整数均成立，求的取值范围. 错解 依题意是递减数列，确定的取值范围. 作辅助函数（，）， 则（）恒成立（）恒成立函数在区间上为减函在恒成立. 因为，由在恒成立，即（）恒成立， 得（）恒成立，于是，即. 正解 对于，. 因为，所以的取值范围为. 评注：由于，可见以上两种结果截然不同，上述错解在（）恒成立，并推不出在区间上为减函，（）恒成立是函数在区间上为减函的必要而不充分条件，二者之间并非等价！ 事实上，令得， 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以是函数的极大点，而当时，即函数在区间（）上为增函数，在为减函数（在区间上并非为减函），但，仍有（）成立. 通过以上几例我们可以发现，数列的单调几与函数的单调性出现了不和谐的“音符”，二者并不总是统一一致的，将数列问题简单的函数化，极易出现错误.因此，在涉及数列问
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