数学一轮第十二篇概率、随机变量及其分布第6讲　离散型随机变量的均值与方差教案理新人教

第6讲离散型随机变量的均值与方差【2013年高考会这样考】1考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念2利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题【复习指导】均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题基础梳理离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn数学期望 平均水平 偏离程度 两个防范在记忆D(aXb)a2D(X)时要注意：D(aXb)aD(X)b，D(aXb)aD(X)三种分布(1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)；(2)XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)；(3)若X服从超几何分布，则E(X)n.六条性质(1)E(C)C(C为常数)(2)E(aXb)aE(X)b(a、b为常数)(3)E(X1X2)EX1EX2(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1X2)E(X1)E(X2)(5)D(X)E(X2)(E(X)2(6)D(aXb)a2D(X)双基自测1(2010山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为() A. B. C. D2解析由题意知a012351，解得，a1.s22.答案D2已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为() A. B4 C1 D1解析E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.答案A3(2010湖北)某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E()8.9，则y的值为_A0.4 B0.6 C0.7 D0.9解析x0.10.3y1，即xy0.6.又7x0.82.710y8.9，化简得7x10y5.4.由联立解得x0.2，y0.4.答案A4设随机变量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，则()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45解析XB(n，p)，E(X)np1.6，D(X)np(1p)1.28，答案A5(2010上海)随机变量的概率分布列由下表给出：78910P0.30.350.20.15该随机变量的均值是_解析由分布列可知E()70.380.3590.2100.158.2.答案8.2考向一离散型随机变量的均值和方差【例1】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1和B1A2和B2A3和B3现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y(1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)审题视点 首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望解(1)X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.P(X3)，P(X2)，P(X1)，P(X0)；根据题意XY3，所以P(Y0)P(X3)，P(Y1)P(X2)，P(Y2)P(X1)，P(Y3)P(X0).X的分布列为X0123PY的分布列为Y3210P(2)E(X)3210；因为XY3，所以E(Y)3E(X). (1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算(2)由X的期望、方差求aXb的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解【训练1】 (2011四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望E()解(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A).所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.(2)可能取的值有0,2,4,6,8.P(0)；P(2)；P(4)；P(6)；P(8).甲、乙两人所付的租车费用之和的分布列为02468P所以E()02468.考向二均值与方差性质的应用【例2】设随机变量X具有分布P(Xk)，k1,2,3,4,5，求E(X2)2，D(2X1)，.审题视点 利用期望与方差的性质求解解E(X)123453.E(X2)12232425211.D(X)(13)2(23)2(33)2(43)2(53)2(41014)2.E(X2)2E(X24X4)E(X2)4E(X)41112427.D(2X1)4D(X)8，. 若X是随机变量，则f(X)一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若aXb，E()1，D()11，试求a，b的值解(1)X的分布列为X01234PE(X)012341.5.D(X)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D()a2D(X)，得a22.7511，即a2.又E()aE(X)b，所以当a2时，由121.5b，得b2.当a2时，由121.5b，得b4.或即为所求考向三均值与方差的实际应用【例3】(2011福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：(1)产品的“性价比”；(2)“性价比”大的产品更具可购买性审题视点 (1)利用分布列的性质P1P2P3P41及E(X1)6求a，b值(2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息判断解(1)因为E(X1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b3.2.又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性 解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，本题第(1)问中充分利用了分布列的性质p1p2pn1.【训练3】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为和(1)(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益回收资金投资资金)，求X的概率分布及E(X)；(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围解(1)依题意，X的可能取值为1,0，1，X的分布列为X101PE(X).(2)设Y表示10万元投资乙项目的收益，则Y的分布列为：Y22PE(Y)2242，依题意要求42，1.规范解答23离散型随机变量的均值与方差的计算【问题研究】 期望和方差是离散型随机变量的两个重要数学特征，是高考概率考查的重要知识点，常与排列组合、导数等知识相结合，对考查生的数学应用能力、数学表达能力、创新能力都进行了考查【解决方案】 (1)掌握好期望与方差的性质(2)记住或理解一些特殊分布的均值与方差，如两点分布、二项分布等(3)注意运算技巧，随机变量的均值与方差计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为二项分布的期望与方差，运用期望与方差的性质简化运算，运算时注意一些项的合并【示例】(本小题满分12分)甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为，乙机投弹一次命中目标的概率为，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；(2)记目标被命中的次数为随机变量，求的分布列和数学期望 对于第(1)问，甲、乙两机的投弹都是独立重复试验概型，根据至少两次命中分类求解，或使用间接法求解，注意运用相互独立事件同时发生的概率乘法公式；对于第(2)问，根据题意，随机变量0,1,2,3,4，根据独立重复试验概型及事件之间的相互关系，计算其概率即可求出分布列，根据数学期望的计算公式求解数学期望解答示范 设Ak表示甲机命中目标k次，k0,1,2，Bl表示乙机命中目标l次，l0,1,2，则Ak，Bl独立由独立重复试验中事件发生的概率公式有P(Ak)Ck2k，P(Bl)Cl2l.据此算得P(A0)，P(A1)，P(A2).P(B0)，P(B1)，P(B2).(2分)(1)所求概率为1P(A0B0A0B1A1B0)11.(4分)(2)的所有可能值为0,1,2,3,4，且P(0)P(A0B0)P(A0)P(B0)，P(1)P(A0B1)P(A1B0)，P(2)P(A0B2)P(A1B1)P(A2B0)，(8分)P(3)P(A1B2)P(A2B1)，P(4)P(A2B2).(10分)综上知，的分布列如下：01234P从而的期望为E()01234.(12分) 概率问题的核心就是互斥事件、相互独立事件的概率计算、随机变量的分布以及均值等问题，并且都是以概率计算为前提的，在复习时要切实把握好概率计算方法若本题第(2)问是单纯求随机变量的数学期望，则可以直接根据二项分布的数学期望公式和数学期望的性质解答：令1，2分别表示甲、乙两机命中的次数，则1B，2B，故有E(1)2，E(2)21，而知E()E(1)E(2).【试一试】 (2011北京)(本小题共13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示(1)如果X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为x1，x2，xn的平均数)解(1)当X8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为：；方差为：s2(8)2(8)2(9)2(10)2.(2)当X9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4416种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此