数学一轮例题解析15.3圆的标准方程和一般方程

高中数学一轮复习资料第十五章 解析几何第三节 圆的标准方程和一般方程A组1若圆x2y22kx2y20(k0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为_解析：圆的方程为(xk)2(y1)2k21，圆心坐标为(k，1)，半径r，若圆与两坐标无公共点，即，解得1k0)，B(0，a)，C(4,0)，D(0,4)，设AOB的外接圆圆心为E.(1)若E与直线CD相切，求实数a的值；(2)设点P在圆E上，使PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的E是否存在，若存在？求出E的标准方程；若不存在，说明理由解：(1)直线CD方程为yx4，圆心E(，)，半径ra.由题意得a，解得a4.(2)|CD|4，当PCD面积为12时，点P到直线CD的距离为3.又圆心E到直线CD距离为2(定值)，要使PCD的面积等于12的点P有且只有三个，只须圆E半径5，解得a10，此时，E的标准方程为(x5)2(y5)250.11在RtABO中，BOA90，OA8，OB6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、O距离的平方和的最大值和最小值解：如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系xOy，则A(8,0)，B(0,6)，内切圆C的半径r(OAOBAB)2.内切圆C的方程为(x2)2(y2)24.设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d，则dPA2PB2PO2(x8)2y2x2(y6)2x2y23x23y216x12y1003(x2)2(y2)24x76.点P(x，y)在圆C上，(x2)2(y2)24.d344x76884x.点P(x，y)是圆C上的任意点，x0,4当x0时，dmax88；当x4时，dmin72.12(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论解：(1)显然b0.否则，二次函数f(x)x22xb的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(2,0)，这与题设不符由b0知，二次函数f(x)x22xb的图象与y轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与x轴必有两个交点，从而方程x22xb0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式44b0，即b1.所以b的取值范围是(，0)(0,1)(2)由方程x22xb0，得x1.于是，二次函数f(x)x22xb的图象与坐标轴的交点是(1，0)，(1，0)，(0，b)设圆C的方程为x2y2DxEyF0.因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，得解上述方程组，因b0，得所以，圆C的方程为x2y22x(b1)yb0.(3)圆C过定点证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02y022x0y0b(1y0)0.(*)为使(*)式对所有满足b1(b0)的b都成立，必须有1