数学学科综合能力测试4

数学学科综合能力测试（四）一选择题: 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A、B分别表示函数y=lg(x2-3x-4) 2. 与y=的定义域, 则A 3. B=( )A.x|-1x3 B.x|-7x-1 C.x|x-1D.x| x 42. 下列命题种错误的是( )与一个平面相交成等角的两条直线平行;两条异面直线在一个平面上的射影一定是两条相交直线;若平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等, 则此直线必与平面平行;对于两条异面直线及它们之外的任一点, 一定存在过该点的一个平面与两条异面直线都平行.A. B. C. D. 3. 若函数y=2cos(x2-)的定义域是(0,), 则值域是( )A. (-1, 1) B. C. (-, 1) D. (-,) 4. 在复平面内, 已知点A(2, 1), B(0, 2), C(-2, 1), O(0, 0). 给出下面结论: 直线OC与直线BA平行; ; ; . 其中正确的结论个数是( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 在等比数列an中, Sn为前n项和, 若S4=1, S8=3, 则a17+ a18+ a19+ a20=( )A. 16 B. 25C. 31 D. 9 6. 正方体ABCD-A1B1C1D1中, EF是异面直线AC和A1D的公垂线段, 则EF和BD1的位置关系为( )A. 相交且垂直 B. 互相平行C. 异面垂直 D. 相交不垂直 7. 已知、为锐角, cos=, tan(-)=-1, 则的值是( )A. B. C. D. 8. 某农贸市场出售西红柿, 当价格上涨时, 供给量相应增加, 而需求量相应减少, 具体调查结果如下表:表1 市场供给量单价(元/kg)22.42.83.23.64供给量(1000kg)506070758090表2 市场需求量单价(元/kg)43.42.92.62.32需求量(1000kg)506065707580根据以上提供的信息, 市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( )A.(2.3, 2.6)内B. (2.4, 2.6)内C.(2.6, 2.8)内 D. (2.8, 2.9)内 9. 定义在R上的函数f(x)是奇函数, 又是以2为周期的周期函数, 那么f(1)+f(2)+f(3)+f(99)的值等于( )A. -1 B. 0 C. 1 D. 4 10.双曲线是虚轴长为4, 离心率e=, F1、F2分别是它们的左、右焦点, 若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点, 且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项, 则|AB|等于( )A. 8 B. 4 C. 2 D. 8 二 填空题: 把答案填在题中横线上.11. 棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球, 那么这个球的体积为 .12. 点P(x, y)是直线x+3y-2=0上的动点, 则代数式3x+27y的最小值为 .13. 在ABC中, B=90, AB=2BC, 若BC平面, AB和所成的角为, 那么= 时, ABC在内的射影三角形为等腰三角形.14. 梯形的两对角线把梯形分成四部分, 有五种不同的颜色给这四部分涂色, 每一部分涂一种颜色, 任何相邻(具有公共边)的两部分涂不同的颜色, 则不同的涂色方法有 种.三 解答题:15.ABC中, 已知三个内角A、B、C成等差数列, A、B、C所对边为a、b、c, 且c-a等于AC边上的高h, 求sin的值.16. 设数列an的前n项和为Sn, 且(3-m) Sn+2man=m+3 (nN). 其中m为常数, 且m -3.()求证an是等比数列; ()若数列an的公比q=f(m), 数列bn满足b1=a1, bn=f(bn-1) (nN, n2 ),求证:为等差数列, 并求bn.17. 已知三棱锥S-ABC中, SA底面ABC, ABBC, E是SC的中点, EDSC交AC于D, SA= AB=1, BC=.()求证: SC平面BDE;()求三棱锥A-BDE的体积;()求平面SAB与平面EDB所成的二面角的大小(平面角为锐角).ABCSDE18. 某地区计划今年用经过处理的工业废渣填河造地. ()若该地区以每年1%的速度减少填河面积, 并为保持生态平衡, 使填河总面积永远不会超过现有水面面积的, 问今年所填面积最多只能占现有面积的百分之几? ()水面的减少必然会使该地区蓄水能力降低, 为了保持其防洪能力不会下降, 就要增加排水设备, 设其经费y(元)与当年所填土地面积x(亩)的平方成正比, 比例系数为a, 又设每亩水面平均经济收入为b(元), 所填的每亩土地年平均收入为c(元), 那么要使每年的收入不少于支出. 试求出当年所填面积x的最大值(其中a、b、c为常数).19. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数, 当x0时, f(x)=-.()求x0时, f(x)的解析式;()试确定函数y=f(x) (x0)单调区间, 并证明你的结论;()若x12, 且x22, 证明:|f(x1)- f(x2)|0, b0)的离心率为e, 右准线l与两条渐进线交于P、Q两点, 右焦点为F, 且PQF为等边三角形. 以F为左焦点, l为左准线的椭圆为C2的短轴端点为B.()若双曲线C1被直线y=ax+b截得的弦长是, 试求双曲线C1的方程;()若双曲线C1过点(1, 0), 试求离心率为 的椭圆C2的方程;()在()的条件下, 求BF中点的轨迹方程.数学学科综合能力测试(四)一、选择题1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.B 7.C 8.C 9.B 10.A二、填空题11. 6 12.6 13.60 14.260三、解答题15.解：A、B、C成等差数列，且A+B+C=180，B=60，A+C=120.又c= ,依题意有： .sinC-sinA=sinCsinA.2cos cos(C+A)-cos(C-A).sin - cos(C-A).sin2 .解得：sin 或sin (舍).故所为sin 。16.()证：由(3-m)Sn+2man=m+3得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3.两式相减得(3+m)an+1=2man,m-3, 。an是等比数列.()b1=a1=1,q=f(m)= ,nN且n2时，bn= (bn-1) .bnbn-1+3bn=3bn-1， . . . SA面ABCAB 面ABC17.()证：由 SAAB，SA面ABCAC 面ABC又 SAAC.在RtSAB中，SA=AB=1.SB= ,BC= ,SB=BC.在等腰SBC中，E是SC中点，BESCEDSCBEED=ESC面BDE. ()解：VA-BDE=VE-ABD,SA面ABC是E为SC中点，三棱锥E-ABD的高等于 SA= .SC面BDEBD 面BDEBD面SACAC 面SAC SCBD.SA面ABCBD 面ABC又 SABD.BD面SACAC 面SAC由 BDAC.在RtABC中易求出BD= ,AD= ,VA-BDE=VE-ABD= ()解： SA 面SAC，ED 面SAC.且SA，ED不平行，故延长SA，ED后必相交，设交点为F，连结FB，S-FB-E是面SAB与面EDB所成的二面角.依条件易证明RtSEFRtSAC，SE= SC= 2=1,AF=2-1=1.SBF=SBA+ABF=45+45=90.SE面FBE.EBF=90，SBE是S-FB-E的平面角.在RtSBC中E为SC中点，且SB=BC,SBE=45.所求二面角的大小为45.18.解()设现有水面面积为M(亩)，今年所填面积为t(亩).依条件有：t+t(1-1%)+t(1-1%)2+ M.即t+t(0.99+0.992+) M，t+t M.t(1+99) M.t M.今年所填面积最多只能占现有水面面积的0.25%.()依条件可知cx-(ax2+bx)0，ax2+(b-c)x0.xax-(c-b)0.当c-b0时， x0，不能填地；当c-b0时，0x .当年所填面积最大值为 亩.19.解()若x0则-x0，f(x)是偶函数，f(x)=f(-x)= (x0.()设x1,x2是区间0，+上任意两个实数，且0x1x2,则f(x1)-f(x2)= ，当0x1x21时，x1-x20,x1x2-10而x12+x1+10及x22+x2+10，f(x1)-f(x2)0 即f(x)在0，1上为减函数.同理当1x1x2时，f(x1)-f(x2)0，即f(x)在(1，+)上为增函数()f(x)在(1，+)是增函数，由x2得f(x)f(2)=-2 又x2+x+10，-7x0，f(x)= .-2f(x)0.x1,x22，-2f(x1)0，且-2f(x2)0.即0-f(x2)2.-2f(x1)-f(x2)2 f(x1)-f(x2)2.20.解() 由.设PQ交x轴于R，则RF= ,PFR=30，得 = .得b= a,从而e=2.此时C1: .此方程与y=ax+ a联立得(a2-3)x2+2 a2x+6a2=0.当a23时，由=12a4-24a2(a2-3)0得a26.0a ,或 a . 由弦长公式得 x1-x2= .即13a4-77a2+102=0.解得a2=2，或a2= .故C1方程为 =1或 =1.当a2=3时y= x+3与渐近线平行，不舍题意.()C1 过点(1，0)，a=1,b= ,c=2,此时F(2,0),1:x= ,分别为椭圆C2的左焦点和左准线.设椭圆中心为0(h,0),显然h2，则其半焦距C=OF=h-2,由离心率 得a=2(h-2)