数学一轮经典例题不等式证明理

2013年高考数学(理)经典例题不等式证明典型例题1如果是例1，就证明分析1作为差别法证明。 分为两种情况，除绝对值符号外，需要比较法证明解法1 (1)当时因为所以呢是(2)当时因为所以呢是综合性(1)(2)知道分析2直接造成差异，用对数的性质去绝对值符号解法二差比较法因为，所以呢说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，从变形中容易去除绝对值符号的解法2即使是对数性质(带底式)也能达到同样的目的，而且不需要分别解决，其解法自然简洁明快典型例题2例2设定，寻求证据：分析：差异变形，发现很难判断符号。 考虑到两侧为正，可以制作商，判断比和1的大小关系，证明不等式。证明：222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡此外1说明：本题考察不等式的证明方法比较法(业者比较法)。 商家比较法证明不等式的步骤是符号、商家、变形、判断和1的大小典型例题3例3对于任意实数，求证明(当时只取等号)。分析这个问题用比较法来证明很麻烦，因为要证明的不等式中有些展开后很复杂。 综合法证明，重要的不等式可以适当利用不等式的性质和“配方”技术。证明： 222222222222222222226把两边合起来即(1)此外，2222222222222222222222226把两边加起来2220(2)从(1)和(2)中可以得到(当时只取等号)。说明：该问题参考综合法证明的不等式，综合法证明的不等式主要应用平均不等式证明，应注意平均不等式的变形应用典型例题4例4寻求已知、证据分析显然很难用比较法证明这个问题。 取共同点，不等式变得复杂，难以得到证明。 由于右侧是常数，因此可以考虑将左侧的公式改变为具有“倒数”特征的形式，例如，利用“平均定理”可能会找到正确的证明路由，这也常常被称为“调整倒数”技术。证明：1222022222222222222222222220说明：该问题考察了变形应用综合法证明不等式。 问题使用“倒计时”，该技术可以应用于许多不等式证明，但是首先可以适当地变形代数式，使其“倒计时”。典型例题5示例5已知，求证： 0分析：这个问题直接得到并不容易，考虑到用分析法证明，分析法的过程可以用综合法书写，因此这个问题可以用两种方法书写证明过程证明1:(分析法书写过程)为了证明 0只需证明2222222卡卡卡卡卡卡卡卡65322200成立0成立证明2:(综合合法书写过程)2卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6530成立0成立说明：学会分析法得到，合法写证明过程，但这两种方法常常混合应用，混合应用时，应用语言的描述可能很清楚典型例题6对于示例6，请求证书：分析这个不等式在形式上很难看到规律性，与我们掌握的定理和重要结论没有直接关系，所以可以用分析的方法找到证明途径。 但用“分析”法证明不等式需要严格的形式。 也就是说，一步一步提出的是前一步的充分条件，直到提出的条件明确成立为止(已知的条件和几个定理等)。证明：为了证明只凭证明书作为证据也就是说作为证据作为证据222222222222卡卡卡卡卡卡所以或者可能可能可能可能可能可能可能可能可能可能求出的不等式成立说明：这个问题考察了用分析法证明的不等式。 主题中分析法和综合法得到综合运用。 写的时候要注意分析法的写作过程是“欲证必要证”，综合法的写作过程是“(22222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡典型例题7例7 :如果要求证据分析：正题结论的反面比原结论更具体，更简单，应适用反证法证据法1 :假设然后，所以2222222222卡卡卡卡卡卡6111因为这和假设相矛盾证据法2 :假设也就是说因为这是不可能的证明法3 :假设是的，先生再见1即，即因为这是不可能的说明：正题的三种方法都采用反证法，有的与已知相矛盾，有的与已知事实相矛盾一般来说，在结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等字句，或者结论是否定的语句，或者结论是“过分”的情况下，可以考虑使用反证法典型例题8例8设为正数，寻求证明分析：很难用综合合法性证明，可以试用分析法证明：要证明，只需证明作为证据简化222222222222卡卡卡卡卡卡11原不等式成立说明：1.正题证明书容易发生以下错误：然后分为(1) (2) (3)然后(4)再讨论，结果无效2 .对于使用分析法证明数学问题，邻接的两步关系要求前一步骤是后一步骤的必要条件，后一步骤是前一步骤的充分条件，但当然也可以是彼此满足的条件。典型例题9例9众所周知，寻求证明分析：联想三角函数的知识，进行三角换算，利用三角函数的值域进行证明证明：从条件来看，可以进行三角取代，但必须引入半径参数222222222222卡卡卡卡卡卡222222222卡卡卡卡卡卡卡卡6531由、故然后，所以说明：1.三角替换是最常见的变量替换，在条件为或的情况下，三角替换是可能的。 2 .交换法中一定要注意新元的范围。 否则，所证明的不等式变量和取值的变化将影响其结果的准确性。典型例题10例10设为正整数，求出证明分析：项式范围要求，其和不求，采用“归零”方法，观察各项范围，求出整体范围证明：是的，先生当时，当时当时1说明： 1、用收缩法证明不等式，收缩应适应。 否则就会陷入困境。 例如，从证明，如果从第3项收缩，则如果从正好能够证明第2项伸缩，则比2 .小.如果伸缩的方式不同，则结果也变化.2 .放大缩小法通常缩小分母，放大分子，缩小包括增大式的值在内的分子，放大分母，缩小式的值，每当总量在一部分以上时，其和就会变小，但必须大于求出，其和才会变大，但必须小于求出，即缩小典型例题11例11已知，求证：分析：要证明的不等式看起来“复杂”，最好把它做成“简单”的形式，最好用分析法来证明证明：我想证明仅证书我们必须证明想要证据我们必须证明想要证据即应该证明证书(* )222222222卡卡卡卡卡卡卡6事故分析法证明不等式，实质上是求结论成立的充分条件典型例题12例12如果分析：不等式左边各字符项的分布处于分离状态，但注意右边结合，要求众所周知的不等式具有这种转换功能(保持两侧项数相同)，易于获得，该公式的外形特征符合要求，我们采用以下结合法进行了证明。证明：1是1说明：分析时，也可以认为是连续应用基本不等式。 左右均为三项，实质上为式的连续使用如果原题有限，不等式可以变形如下：可以进一步得到：很明显，其证明过程仍然适用原题的构想，但比原题难。 因为发现了有转变构想的过程典型例题13例13是、分析：该命题的形式为否定式，应采用反证证明。 假设命题不成立，三个数都很大。 根据这个结论，进一步推导出矛盾证明：假设三个数都大于也就是说还有2222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡此外，444444444444444446加上上述三式，你很快就可以：二与矛盾，假说不成立，因此命题得到了证实说明：一般来说，命题有“高贵”、“至少”、“都”等文字时，通常必须使用反证法，反证法的关键是“反证”，同时在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合解题思想典型例题14例14、都是正数，已知要求证明分析：运用分析法寻找证明问题的突破口。 要证明原不等式，只需证明，问题就解决了。 或者有分析法的途径，用综合合法的形式写证明过程也很容易。证明法1 :要证明只凭证明书这意味着移动项目从、变为正原不等式成立证法2:22222222222222222226是也就是说，因为事故，是说明：问题中出现的是、都是正的，形式与算术平均和几何平均定理相同，不分析而仅用算术平均和几何平均定理求证，是不能解决问题的原不等式中用“不大”连接，必须知道取等号的条件。 正题只在那个时候取“=”符号。 证明不等式无论采用什么方法，都只是一个手段和形式问题。 我们必须把握证明问题的关键。 正题的关键在于证明典型例题15例15是众所周知的。 然后，寻求证明分析：想要证明的正、馀弦函数的值域，正题采用三角换算元，三角函数的变换手段方便，条件、换算元，包围式子进行证明：令，然后则2222222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡说明：兑换的思想到处可见，这里使用三角置换法。 这种置换如果能挖掘出几何意义，对置换本质的认识就会加深。 常用的交换法如下： (1)如果可以设定，(2)如果可以，(3)如果可以典型例题16已知实例16为不等于1的正整数且正整数来求证分析：从求证不等式来看，左边是二项式的乘积，各项均为正，右边有2个因子，因此考虑使用平均不等式证明：是不等于1的正数.又.式、的两侧分别相乘，1说明：本问题看起来很复杂，但根据问题中的特点，选择综合合法证据是非常顺利的。 特征选择方法是求解问题的关键，在此不等式不成立，并且两个不等式都是正的，可以利用不等式的同向证明得出结果。 这也是今后解决问题时应该注意的问题典型例题17例17是，并且，求证明。分析：从正题的结构和特点出发，采用比较法和综合法均无效果。 为了找到使不等式成立的充分条件，请尝试用分析法进行试验，构想清楚后再决定问题方法证明：要证明只凭证明书只有证明书2222222222222222226532222222222卡卡卡卡卡卡卡卡成立1说明：这个问题光靠分析法是得不到结果的。 仅凭问题证明，思路是清晰的。 在这种情况下，切换到综合法是较好的方法。 根据这个例子，用分析法求不等式的证明路径时，也有和比较法、统合法等联合使用的情况。 不要把某种方法看作孤立。典型例题18例18寻求证据分析：该问题的困难在于求证不等式的左端有多个项，合并困难，右边只有一个项。 注意到这是一个严格的不等式，为了左边的合并，有必要调查左边的式子中是否有规则。 这只要从下手调查就可以了证明：2222222222222222221说明：这个问题的证明过程并不复杂，但是想法很难。 本问题中采用的方法也是求解不等式时常用的方法。 这些问题是灵活的、多样的，并