数列问题中的数学思想学法指导不分本_第1页
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数列问题中的数学思想http:/www.DearEDU.com田宝运 刘中原 数列是高中数学的重要内容，蕴含着极其丰富的数学思想。若能有效的运用其数学思想去分析问题、解决问题，在高考中大为有益。 一、方程思想 等差（或等比）数列的通项公式，前n项和公式集中了等差（或等比）数列的五个基本元素、d（或q）、n、。“知三求二”是等差（或等比）数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的。 例1 在等比数列中，已知，求的前8项的和。 解： （1） 由 有 将代入（1），得（舍去） 将代入（1），得。 当q=2时，；当时， 二、函数思想 数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，如等差数列的通项公式，前n项的和公式。当时，可以看作自变量n的一次和二次函数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。 例2 等差数列的前n项的和为，且，求。 解：显然公差，所以是n的二次函数且无常数项。于是设，则 解得 所以 从而 例3 已知数列中，求证。 解：设，则。 因为，所以，所以 即在2，上是单调减函数，故当时，。 三、分类讨论思想 分类是按一定的标准把所要研究的对象分成若干种情况，把一个复杂问题分解成若干个相对简单的问题，从而获得完整的解答。 例4 已知等比数列的首项为1，公比为q（q0），前n项和为，且，求。 解：（1）当q=1时，则，所以。 （2）当0q1时，则，。由，知 所以 综上得 四、数形结合思想 数列是特殊函数，它的图象是由一些有规律的间断点构成的，具有鲜明的几何意义。如等差数列在平面直角坐标系中的点（n，）、（n，）、（n，）（），当时分别在直线、抛物线及直线上，这样就可以利用这些间断点的规律，借形攻数。 例5 设是等差数列的前n项和，若，则下列结论错误的是（ ） A. d0B. C. D. 与均为的最大值 解：因为在平面直角坐标系中点（n，）在抛物线上，且，所以抛物线对称轴方程为 又易知d0，所以与均为的最大值且，所以。 故选C。 五、化归思想 就是把待解决的问题或未知解的问题转化归纳为已有知识范围内可解的问题的一种数学思想。 例6 已知数列的首项，前n项和为，且。求的通项公式。 解：当时， 而，即 所以数列是公比为
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