数学一轮课时检测第二节不等式证明的基本方法理_第1页
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选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法1已知a、b、x、y均为正实数，且，xy.求证：.证明：，又，且a、b均为正实数，ba0.又xy0，bxay.0，即.2已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c2()26，并确定a，b，c为何值时，等号成立证明：法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以()29(abc) .故a2b2c2()23(abc) 9(abc) .又3(abc) 9(abc) 26，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc) 9(abc) 时，式等号成立即当且仅当abc3时，原式等号成立法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.所以a2b2c2abbcac，同理，故a2b2c2()2abbcac3336.所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立，当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)23时，式等号成立即当且仅当abc3时，原式等号成立3(2012豫南九校联考)已知x，y均为正数，且xy，求证：2x2y3.解：因为x0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.4已知正实数a，b，c满足1，求证：a9.证明：因为a，b，c均为正实数，所以3.同理可证：a3.所以(a)()339.因为1，所以a9，当且仅当a3，b6，c9时，等号成立5已知x、y、zR, 且2x3y3z1，求x2y2z2的最小值解：由柯西不等式得，(2x3y3z)2(223232)(x2y2z2)2x3y3z1，x2y2z2，当且仅当，即x，yz时，等号成立，x2y2z2的最小值为.6设f(x)2x22x2 010，若实数a满足|xa|1 ，求证：|f(x)f(a)|4(|a|1)证明：f(x)2x22x2 010，|f(x)f(a)|2|x2xa2a|2|xa|xa1|2|xa1|，又2|xa1|2|(xa)2a1|2(|xa|2a1|)2(1|2a|1)4(|a|1)7求证：(n2，nN*)证明：法一：利用数学归纳法：(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时不等式成立即.则当nk1时，()(3).所以当nk1时不等式也成立，由(1)，(2)知原不等式对一切n2，nN*均成立法二：利用放缩法：n2，.即(n2，nN*)8已知a，b，c为实数，且abc22m0，a2b2c2m10.(1)求证：a2b2c2；(2)求实数m的取值范围解：(1)由柯西不等式得a2(b)2(c)2(abc)2，即(a2b2c2)14(abc)2.a2b2c2.当且仅当|a|b|c|取得等号(2)由已知
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