数学第三章第一节数列的概念

同步检测训练一、选择题1数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，的第100项是()A14B12C13 D15答案：A解析：易知数字为n时共有n个，到数字n时，总共的数字的个数为123n.易知n13时，最后一项为91，n14共有14个，故第100项为14.2数列an中，a11，对于所有的n2，nN*都有a1a2a3ann2，则a3a5等于()A. B.C. D.答案：A解法一：由已知得a1a222，a24.a1a2a332，a3，a1a2a3a442，a4，a1a2a3a4a552，a5.a3a5.解法二：由a1a2a3ann2，得a1a2a3an1(n1)2，an()2(n2)，a3a5()2()2.3数列1，的一个通项公式an是()A(1)n B(1)nC(1)n D(1)n答案：D解析：将数列中的各项变为，故其通项an(1)n.4下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_块(用含n的代数式表示)A4n B4n1C4n3 D4n8答案：D解析：第(1)、(2)、(3)个图案黑色瓷砖数依次为：15312；24816；351520；.由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为：12(n1)44n8.5(2009咸阳模拟)已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k等于()A9 B8C7 D6答案：B解析：Snn29n，当n2时，anSnSn12n10.又当n1时，a1S18也适合上式，an2n10，又52k108，k1，且6Sn(an1)(an2)，nN.(1)求an的通项公式；(2)设数列bn满足an(2bn1)1，并记Tn为bn的前n项和，求证：3Tn1log2(an3)，nN*.(1)解：由a1S1(a11)(a12)，解得a11或a12，由已知a1S11，因此a12.又由an1Sn1Sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得(an1an)(an1an3)0，即an1an30或an1an.因an0，故an1an不成立，舍去因此an1an3.从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项为an3n1.(2)证法一：由an(2bn1)1可解得bnlog2log2；从而Tnb1b2bnlog2.因此3Tn1log2(an3)log2.令f(n)3，则3.因(3n3)3(3n5)(3n2)29n70，故f(n1)f(n)特别地f(n)f(1)1.从而3Tn1log2(an3)log2f(n)0，即3Tn1log2(an3)证法二：同证法一求得bn及Tn.由二项式定理知，当c0时，不等式(1c)313c成立由此不等式有3Tn1log22(1)3(1)3(1)3log22(1)(1)(1)log22log2(3n2)log2(an3)证法三：同证法一求得bn及Tn.令An，Bn，Cn.因，因此AAnBnCn.从而3Tn1log22()3log22Alog22AnBnCnlog2(3n2)log2(an3)证法四：同证法一求得bn及Tn.下面用数学归纳法证明：3Tn1log2(an3)当n1时，3T11log2，log2(a13)log25，因此3T11log2(a13)，结论成立假设结论当nk时成立，即3Tk1log2(ak3)，则当nk1时，3Tk11log2(ak13)3Tk13bk1log2(ak13)log2(ak3)log2(ak13)3bk1log2.因(3k3)3(3k