数学新题型汇总人教

2006年高考数学新题型汇总1、已知函数yf(x)的定义域为a，b，只有一个子集，则（）A、ab0B、ab0C、ab0D、ab0答：A 依题意，故函数yf(x)（x a，b）与y轴不相交，所以ab0。2、坐标平面上一点P到点A（,0）,B(a,2)及到直线x=的距离都相等。如果这样的点P恰好只有一个，那么实数a的值是 （ ）A B C或 D或-答：D 平面上到点A（,0）及到直线x=的距离相等的点的轨迹是抛物线y2=4x。本题实质上就是该抛物线上有且只有一个点到点A（,0）,B(a,2)的距离相等，有两种情况：一是线段AB的垂直平分线与抛物线相切，一是线段AB的垂直平分线与抛物线的对称轴平行。可得结果实数a的值为或-。3、定义在R上的函数f(x)的图像过点M（6，2）和N（2，6），且对任意正实数k，有f(x+k) f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|4的解集为(4,4)时，实数t的值为（）（A）-1 (B) 0 (C) 1 (D)2答：D 由对任意正实数k，有f(x+k) f(x)成立，所以函数f(x)是R上的减函数，由不等式| f(x-t)+2|4，得-4f(x-t)+24,得 -6f(x-t)2,又 f(x)的图像过点M（6，2）和N（2，6），所以-6x-t2,得t -6x 2t，又不等式| f(x-t)+2|0 |PE|=；同理|PF|=，|PH|=2x又|PE|PF|=|PH|2 =(2x)2，整理得y2+(x4)2=8(4) 14、（本小题满分14分）如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为；折痕与AB交于点E，点M满足关系式。（）建立适当的直角坐标系，求点M的轨迹方程；（）若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，F是边AB上的一点，过点F的直线交曲线C于P、Q两点，且，求实数的取值范围。解答：(1)建立如图所示坐标系，设E(0,t),B(x0,2)，M(x,y),则在中可求得，又，代入可得：消去t得：（0x2）（8分）(2)如图，显然PQ与x轴垂直时不符合题意，故可以设直线PQ的方程为：，由，整理得：（1）且又，即（2）代入（1）得：，消去，得又根据图像可知，当且仅当时，直线与曲线C有两个交点，解之得2（6分）14、邻居老李今年45岁，因精简机构被裁员买断。按规定，凡买断者根据工龄及业绩一次性给予补贴。若有返聘者，则给予原工资的 薪酬，其余福利一概不计。已知老李月工资3000元，这次买断可一次性补贴10万元，家中原有积蓄5万元。现在老李需拟定一个五年计划，有三个设想方案：其一：返聘。将所有资金存入银行（年息 ）。其二：开店。将全部资金投入运营。预测前3年每年盈余的数据如表：年份12345盈余5万元8万元9万元年份12345盈余5万元8万元9万元其三：注册公司。将已有资金另加贷款（年息 ）共计30万元全部投入运营。预测前3年每年盈余的数据如表：年份12345盈余5万元8万元11万元年份12345盈余5万元8万元11万元已知银行以复利计息。在不考虑任何其他因素的前提下，请你为老李作出一个最佳选择，并完成上两表空格（注：工资和盈余均以不存入银行计）。解： 方案（一）： 返聘。五年盈余：S1 = 0.30.712515 (1 ) 515 = 14.98 (万元) y 方案（二）： 开店。 画散点图。可考虑模拟函数解析式：y = a x 2bxc 代入已知数据，可得模拟函数解析式：y = (x3)29 ( xN+ ，且1 x 5 ) 五年盈余：S2 = y1y2y3y4y515 (1 ) 5 o 。 。 x = 5898515 (1 ) 5 = 17.62 (万元) 方案（三）： 注册公司。 y 画散点图。可考虑模拟函数解析式： y = kxb 代入已知数据，可得模拟函数解析式：y= 3x2 ( xN+ ，且1 x 5 )五年盈余：S3 = y1y2y3y4y515 (1 ) 515(1)5 = 58111417151.03 5 151.05 5 o x = 18.49 (万元)因为 S1 S2 解：由已知(anbn)1，则M()(anbn)(14n4n)(14n22n)当且仅当bn2nan时取等号当M取最小值时，an2nann，此时an因此Sna1a2an令S，则S两式相减得S11所以S2即Sn2SnTn12n，则TnSn 218、（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长的最小值； （2）若三角形有一个内角为，周长为定值，求面积的最大值； （3）为了研究边长满足的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：而，则，但是，其中等号成立的条件是，于是与矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值。以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案。（注：称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）解：（1）设直角三角形两直角边长为、，斜边长为，则 两直角边长为时，周长的最小值为。 （2）设三角形中边长为、的两边所夹的角为，则周长 ，即 又，面积的最大值为。 （3）不正确。 而，则，其中等号成立的条件是 ，则当三角形的边长为的直角三角形时，其面积取得最大值。（ 另法： ）19、现在要对某个学校今年将毕业的900名高三毕业生进行乙型肝炎病毒检验，可以利用两种方法：对每个人的血样分别化验，这时共需要化验900次；把每个人的血样分成两份，取其中m个人的血样的各一份混合在一起作为一组进行化验，如果结果为阴性，那么对这m个人只需这一次检验就够了；如果结果为阳性，那么再对m个人的另一份血样逐个化验，这时对这m个人一共需要m+1次检验，据统计报道，对所有人来说，化验结果为阳性的概率为0.1。（1）求当m3时，一个小组经过一次检验就有确定化验结果的概率是多少？（2）试比较在第二种方法中，m4和m6哪种分组方法所需要的化验次数更少一些？（1） （2）M4时，P0.94(次)m6时P0.96（次）20、如图：在边长为1的正方形ABCD中，以对角线AC为半径作圆弧（图1），再以D为一个顶点在圆弧内作内接正方形DEFG，以对角线DF为半径作圆弧（图2），以G为一个顶点在圆弧内作内接正方形GHIJ，以对角线GI为半径做圆弧（图3），如此一直作下去图1图2图3ABCDFEGDCBAHIJCBADEFG（1）请你在以上一系列图中确定一个无穷数列，求出数列的通项公式；（2）记你所给出的数列的前项和为，是否存在？若存在，求出极限的值；若不存在，请说明理由解：（1）可以确定正方形的边长、面积、对角线等都是无穷递缩等比数列，弧长也构成无穷递缩等比数列。（以下仅举一例，其它请对照给分）连接AF，记AD=，DG=，在中，由余弦定理：，得出： 4分。 第个图中，同理可得：相邻正方形的边长之比为定值，6分。所以正方形面积所成的数列为首项、公比的等比数列，通项 8分。（2）因为公比|， 10分。所以存在= 14分。21、如图，已知平面内两定点、与动点满足条件，且线段的垂直平分线与交于点（）求点的轨迹方程；（）求的最大值，并求此时的面积；（）当且点在第一象限时，求直线的解析式解:（）连结，直线是线段的垂直平分线且与交于点，从而，由椭圆定义可得，点轨迹是以、为焦点的椭圆，且，即点的轨迹方程为：（）连结，得到椭圆的参数方程： （）故，由得，即，的最小值为，即的最大值为又由于，从而得的最大值为此时即，于是点为，故是含的直角三角形且点为斜边的中点，的面积（）当时，可得，即又点在第一象限，而，即点必在第一象限，因此取此时，即点为对半椭圆函数求导数得，过点的直线的斜率为，直线为：即：22、有两个质点的运动轨迹是在同一个平面的以定点C为公共焦点的双曲线，开始它们分别在双曲线的顶点A与B处，且AB=2，两双曲线对称于AB的中垂线（如图），它们在点D处会合时，DC=4。（1）求双曲线的离心率；ABDP（2）当一质点沿BD的轨迹前进到点P时，求的长。（1） （2）23、（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长的最小值； （2）若三角形有一个内角为，周长为定值，求面积的最大值； （3）为了研究边长满足的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：而，则，但是，其中等号成立的条件是，于是与矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值。以上解答是否正确