数学精英备考讲座第七讲第一节选择题的解题策略1文

用心 爱心 专心- 1 - 选择题、填空题的解题策略选择题、填空题的解题策略 高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种思想方法，体现以考查 “三基”为重点的导向，题量一般为 10 到 12 个，能否在选择题上获取高分，对高考数学成 绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字准确、迅速. 选择题主要考查基础知识的理解、接本技能的熟练、基本运算的准确、基本方法的运用、 考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面.解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选 项两方面提供的信息作出判断.一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能 使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选 择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简单解法等.解题时应仔细审题、深入分析、 正确推理、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确. 解数学选择题的常用方法，主要分为直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基 本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许， 甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法. 填空题是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定空 位上将缺少的语句填写清楚、准确. 它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、 数字、符号、数学语句等. 填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知 的题目或基本题型. 填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因而在解答过程中应力求 准确无误. 根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型： 一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式解集、函数 的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等. 由于填空题和选择题相比， 缺少选择的信息，所以高考题多数是以定量型问题出现. 二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如： 给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等. 近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题. 填空题缺少选择的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上. 但填空 题既不用说明理由，又无需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题. 填空题虽题小，但跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的、和谐地结合一些问题， 突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、 列表分析、精算与估算相结合等计算能力. 想要又快又准地答好填空题，除直接推理计算外， 还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法. 解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严 格. 考试说明中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”. 为此在解填空 题时要做到：快运算要快，力戒小题大作；稳变形要稳，不可操之过急；全答 案要全，力避残缺不齐；活解题要活，不要生搬硬套；细审题要细，不能粗心大意. 第一节第一节 选择题的解题策略（选择题的解题策略（1 1） 【解法一解法一】直接法：直接法： 直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推 理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出选项理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出选项“对号入座对号入座” ，作出相应，作出相应 的选择的选择. . 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法. . 例例 1 1 双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 （ ） 22 21xy 用心 爱心 专心- 2 - A.B.C. D. 2 (,0) 2 5 (,0) 2 6 (,0) 2 ( 3,0) 点拨：点拨：此题是有关圆锥曲线的基础题，将双曲线方程化为标准形式，再根据的关系求, ,a b c 出，继而求出右焦点的坐标.c 解：解：，所以右焦点坐标为，答案选 C. 222 13 1 22 cab 6 (,0) 2 易错点：易错点：（1）忽视双曲线标准方程的形式，错误认为；（2）混淆椭圆和双曲线标准 2 2b 方程中的关系，在双曲线标准方程中., ,a b c 222 cab 例例 2 2 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 值等于（ ）i A.2 B.3 C.4 D.5 点拨：点拨：此题是程序框图与数列求和的简单综合题. 解：解：由程序框图可知，该框图的功能是输出使和 123 1 22 23 3211 i Si 时的 的值加 1，因为，所以当i 12 1 22 21011 123 1 22 23 311 时，计算到故输出的 是 4，答案选 C.11S 3i i 易错点：易错点：没有注意到的位置，错解.实际上 使得后加 1 再1ii 3i i11S 输出，所以输出的 是 4.i 变式与引申：变式与引申： 根据所示的程序框图（其中表示不大于的最大整数） ，输出（ xxr ）. A. B. C.2 D. 7 3 7 4 3 2 例例 3 3 正方体-中，与平面所成角ABCD 1111 ABC D 1 BB 1 ACD 的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2 3 3 3 2 3 6 3 点拨：点拨：此题考查立体几何线面角的求解.通过平行直线与同一平面所成角相等的性质及 用心 爱心 专心- 3 - 转化后，只需求点到面的距离.sin h l 解：解：因为,所以与平面所成角和与平面所 1 BB 1 DD 1 BB 1 ACD 1 DD 1 ACD 成角相等,设平面，由等体积法得, 即DO 1 ACD 11 D ACDDACD VV .设=,则 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 1 DDa ,. 1 222 1 11311 sin60( 2 ), 22222 ACDACD SAC ADaaSAC CDa AA 所以 记与平面所成角为, 1 3 1 2 3 , 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A A 1 DD 1 ACD 则,所以,故答案选 D. 1 3 sin 3 DO DD 6 cos 3 易错点：易错点：考虑直接找与平面所成角，没有注意到角的转化，导致思路受阻. 1 BB 1 ACD 点评：点评：直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必 能得出正确的答案.平时练习中应不断提高直接法解选择题的能力.准确把握题目的特点，用 简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错. 【解法二解法二】 特例法：特例法： 用特殊值代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判 断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等. 例例 4 4：在平面直角坐标系 xoy 中，已知ABC 的顶点 A(4，0) 和 C(4，0)，且顶点 B 在椭 圆上，则（ ） 22 1 259 xy += sinsin sin AC B A. B. C.1 D. 5 4 3 5 4 5 点拨：此题是椭圆性质与三角形的简单综合题，可根据性质直接求解，但正弦定理的使用不 易想到，可根据性质用取特殊值的方法求解. 解：解：根据 B 在椭圆上，令 B 在短轴顶点处，即可得答案选 A. 22 1 259 xy += 用心 爱心 专心- 4 - 例例 5 5 已知函数= 若均不相等，且( )f x lg,010 1 6,10 2 xx xx , ,a b c ，则的取值范围是 （ ）( )( )( )f af bf cabc A.（1，10） B.(5，6) C.(10，12) D.(20，24) 点拨：点拨：此题是函数综合题，涉及分段函数，对数函数，函数图像变换，可结合图像，利用方 程与函数的思想直接求解，但变量多，关系复杂，直接求解较繁，采用特例法却可以很快得 出答案. 解：解：不妨设，取特例，如取，则易得abc 1 ( )( )( ) 2 f af bf c ，从而，故答案选 C 11 22 10,10 ,11abc 11abc 另解另解：不妨设，则由，再根据图像易得.实际上abc( )( )1f af bab1012c 中较小的两个数互为倒数., ,a b c 例例 6 6 记实数中的最大数为，最小数为.已知 12 ,x x n x 12 max , n x xx 12 min , n x xx 的三边边长为、（）,定义它的倾斜度为ABCabcabc ，则“”是“为等边三角形”的（ ）max , min , a b ca b c t b c ab c a 1t ABC A. 充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件 C. 充要条件D.既不充分也不必要的条件 点拨：点拨：此题引入新定义，需根据新信息进行解题，必要性容易判断. 解：解：若为等边三角形时、即，则则ABCabcmax , 1min , a b ca b c b c ab c a t=1；若为等腰三角形，如时，则ABC2,2,3abc ，此时 t=1 仍成立但不为等边三角形, 所以答案 32 max,min, 23 a b ca b c b c ab c a ABC 选 B. 点评：点评：当正确的选择对象在题设条件都成立的情况下，用特殊值（取的越简单越好）进 行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是 解答本类选择题的最佳策略. 【解法三解法三】 排除法：排除法： 充分运用选择题中单选的特征（即有且只有一个正确选项）充分运用选择题中单选的特征（即有且只有一个正确选项） ，通过分析、推理、计算、，通过分析、推理、计算、 判断，逐一排除，最终达到目的判断，逐一排除，最终达到目的. . 例例 7 7 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ）, 4 2 A. B.sin(2) 2 yx cos(2) 2 yx 用心 爱心 专心- 5 - C. D.sin() 2 yx cos() 2 yx 点拨：点拨：此题考查三角函数的周期和单调性. 解：解：C、D 中函数周期为 2，所以错误.当时，函数, 4 2 x 3 2, 22 x 为减函数,而函数为增函数，所以答案选 A.sin(2) 2 yx cos(2) 2 yx 例例 8 8 函数的图像大致是（ ） 2 2xyx 点拨：点拨：此题考查函数图像，需要结合函数特点进行分析,考虑观察零点. 解：解：因为当2 或 4 时，所以排除B、C；当-2 时，x 2 20 x xx 2 2xx 1 40 4 故排除 D，所以答案选 A. 易错点：易错点：易利用导数分析单调性不清导致错误. 例例 9 9 设函数 ， 若, 则实数的取值范围是（ 2 1 2 log0 log ()0 xx f x xx ( )()f afaa ） A. B. C. D. ( 1,0)(0,1)(, 1)(1,) ( 1,0)(1,) (, 1)(0,1) 点拨点拨：此题是分段函数，对数函数，解不等式的综合题，需要结合函数单调性，对数运算性 质进行分析，分类讨论，解对数不等式，运算较复杂，运用排除法较易得出答案. 解：解：取验证满足题意，排除A、D. 取验证不满足题意, 排除 B.所以答案选 C.2a 2a 易错点：易错点：直接求解利用函数解析时，若忽略自变量应符合相应的范围，易解错 点评：点评：排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根 据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围 内找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选 择题, 尤其是选项为范围的选择题的常用方法. 【解法四解法四】 验证法：验证法： 用心 爱心 专心- 6 - 将选项中给出的答案代入题干逐一检验，从而确定正确答案将选项中给出的答案代入题干逐一检验，从而确定正确答案. . 例例 1010 将函数的图像向左平移个单位.若所得图像与原图像重合，则( )sin()f xx 2 的值不可能等于（ ） A.4 B.6 C.8 D.12 点拨：点拨：此题考查三角函数图像变换及诱导公式，的值有很多可能，用验证较易得出答案. 解：解：逐项代入验证即可得答案选 B. 实际上，函数的图像向左平移个单位所得函数为( )sin()f xx 2 ( )sin () 2 f xx ，此函数图像与原函数图像重合，即sin() 2 x sin() 2 x ，于是为 4 的倍数.sin()x 易错点：易错点：的图像向左平移个单位所得函数解析式，应将原解析式中的( )sin()f xx 2 变为，图像左右平移或轴的伸缩变换均只对产生影响，其中平移符合左加右减x 2 x xx 原则，这一点需要对图像变换有深刻的理解. 例例 1111 设数列 n a中， 32, 2 11 nn aaa， 则通项是（ ） n a An35B123 1 n C 2 35nD325 1 n 点拨：点拨：此题考查数列的通项公式，直接求，不好求，宜用验证法. n a 解：把解：把代入递推公式得：，再把各项逐一代入验证可知，答案选 D. 1 a 2 7a = 易错点：易错点：利用递推公式直接推导，运算量大，不容易求解. 例例 1212 下列双曲线中离心率为的是（ ）www. 6 2 A. B. C. D. 22 1 24 xy 22 1 42 xy 22 1 46 xy 22 1 410 xy 点拨：点拨：此题考查双曲线的性质，没有确定形式，只能根据选项验证得出答案. 解：解：依据双曲线的离心率，逐一验证可知选 B. 22 22 1 xy ab c e a 易错点：易错点：双曲线中，与椭圆中混淆，错选 D. 222 cab 222 cab 用心 爱心 专心- 7 - 变式与引申：变式与引申：下列曲线中离心率为的是（ ）www. 6 2 A. B. C. D. 22 1 24 xy 22 1 42 xy 22 1 46 xy 22 1 410 xy 答案：选答案：选 B B 点评：点评：验证法适用于题设复杂，但结论简单的选择题. 若能根据题意确定代入顺序则能 较大提高解题速度. 习题习题 7-17-1 1.1. 已知直线与直线平行，则是的:p 1: 10lxy 2: 20lxay:1q a pq A充要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 2 2某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能（ ） 11 1 , 13 11 5 A.不能作出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形 C.作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形 3.3.设是任意等比数列，它的前项、前项、与前项和分别为，则下列等 n an2n3n, ,X Y Z 式中恒成立的是( ) A.B.2XZYY YXZ ZX C.D. 2 YXZY YXX ZX 4.4.定义在 R R 上的奇函数为减函数，设，给出下列不等( )f x0ab 式：；( )()0f afa( )()0f bfb ，其(