数学全国各地模拟分类汇编6数列1理

用心 爱心 专心- 1 - 20122012 全国各地模拟分类汇编理：数列（全国各地模拟分类汇编理：数列（1 1） 【四川省绵阳南山中学 2012 届高三九月诊断理】等差数列中，若， n a39 741 aaa ，则前 9 项的和等于27 963 aaa 9 S A99 B66 C144 D297 【答案】A 【四川省南充高中 2012 届高三第一次月考理】等比数列 n a 中， 14 1 4, 2 aa ， n S 是数列 n a 前n项的和，则 n n S lim 为（ ） A n 2 1 18 B8 C n 2 1 116 D 16 【答案】B 【四川省德阳市 2012 届高三第一次诊断理】在等比数列中， n a 511313 3,4aaaa 则=（ ） 15 5 a a A3BC3 或D 1 3 1 3 1 3 3 或 【答案】C 【四川省成都市双流中学 2012 届高三 9 月月考理】设是等差数列的前项和，若， n Sn 1 1a 公差，则（ ）2d 2 24 kk SS k A5 B6 C7 D 8 【答案】A 【浙江省杭州第十四中学浙江省杭州第十四中学 20122012 届高三届高三 1212 月月考月月考】若数列 为等差数列，且 n a ，则 357911 20aaaaa 89 1 2 aa (A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】B 【黑龙江省绥棱一中黑龙江省绥棱一中 20122012 届高三理科期末届高三理科期末】已知等比数列的公比为正数，且 n a ， 则= （ ） 2 374 4a aa 2 2a 1 a A B 1 C 2 D 2 2 2 【答案】B 用心 爱心 专心- 2 - 【甘肃省天水一中甘肃省天水一中 20122012 学年度第一学期高三第四阶段考学年度第一学期高三第四阶段考】数列 n a中， 1 a=1， 1n a= n a+ ) 1 1lg( n ，则 10 a=（ ） A.1 B. 2 C. 3 D.4 【答案】B 【福建省南安一中福建省南安一中20122012届高三上期末届高三上期末】等差数列的前n项和为，若， n a n S30 1272 aaa 则的值是( ) 13 S A130 B65 C70 D75 【答案】A 【安徽省六校教育研究会安徽省六校教育研究会 20122012 届高三联考届高三联考】数列满足， n a1 1 a1 2 a ，则的大小关系为（ ） 22 2 (1 sin)4cos 22 nn nn aa 109,a a （A）（B）（C）（D）大小关系不确定 109 aa 109 aa 109 aa 【答案】C 【北京市朝阳区北京市朝阳区 20122012 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试】设数列 n a是公差不为 0 的等差数列， 1 1a 且 136 ,a a a成等比数列，则 n a的前n项和 n S等于（ ） A 2 7 88 nn B 2 7 44 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 【答案】A 【北京市东城区北京市东城区 20122012 学年度高三数第一学期期末学年度高三数第一学期期末】在等差数列中，若， n a4 75 aa ，则数列的公差等于 ； 其前 项和的最大值为2 86 aa n an n S 【答案】，573 【广东省执信中学广东省执信中学 20122012 学年度第一学期期末学年度第一学期期末】设等差数列 n a的前n项和为 n S,若 1 11a , 37 6aa ,则当 n S取最小值时,n等于（ ） A9 B8 C7 D6 【答案】D 【北京市西城区北京市西城区 20122012 学年度第一学期期末学年度第一学期期末】已知 n a是公比为2的等比数列，若 31 6aa，则 1 a ； 222 12 111 n aaa _ 用心 爱心 专心- 3 - 【答案】2； 1 (14) 3 n 【浙江省宁波四中 2012 届高三上学期第三次月考理】 （本题满分 14 分）设数列 n a的前 n项和为 n S，3 1 a且32 1 nn Sa，数列 n b为等差数列，且公差0d， 15 321 bbb （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 3 3 2 2 1 1 3 , 3 , 3 b a b a b a 成等比数列，求数列 n b的前n项和 n T 【答案】解：（1）由 32 1 nn Sa ，得 )2( 32 1 nSa nn （2 分） 相减得： )(2 11 nnnn SSaa ，即 nnn aaa2 1 ，则 3 1 n n a a （5 分） 当 1n 时， 932 12 aa ， 3 1 2 a a （6 分） 数列 n a 是等比数列， nn n a333 1 （7 分） （2） 231321 2,15bbbbbb ， 5 2 b （8 分） 由题意 ) 3 )( 3 () 3 ( 3 3 1 12 2 2 b a b a b a ，而 9 3 , 3 3 , 1 3 321 aaa 设 dbbdb5, 5,5 321 ， )95)(15(64dd ， 0208 2 dd ，得 2d 或 10d （舍去）（13 分） 故 nn nn nd nn nbTn22 2 ) 1( 3 2 ) 1( 2 1 (14 分) 【四川省成都市双流中学2012届高三9月月考理】本题满分12分）等比数列的各项均为 n a 正数，且 2 12326 231,9aaaa a （1）求数列的通项公式. n a （2）设求数列的前项和. 31323 logloglog nn baaa 1 n b n 【答案】解：（1）设数列an的公比为q，由得所以。 2 326 9aa a 22 34 9aa 2 1 9 q 有条件可知，故。4分0 n a 1 3 q 由得，所以5分 12 231aa 11 231aa q 1 1 3 a 用心 爱心 专心- 4 - 故数列an的通项式为 6分 1 3 n n a （2）= 31323 logloglog nn baaa12n =.8分 1 2 n n 故 10分 211 2 11 n b n nnn 12 111111112 .2(1)().() 22311 n n bbbnnn 所以数列的前 n 项和为 12 分 1 n b 2 1 n n 【四川省绵阳南山中学 2012 届高三九月诊断理】 （12 分）在数列an中， 012 2 3 11 nn aaa且满足 （1）求数列 an 的通项公式； （2） 计算. n n n a ns lim 【答案】解：由为首 2 1 11),1(21:012 111 aaaaaa nnnnn 是以则得 项，以 2 为公比的等比数列， 4 分 （文 6 分） （2）由（1） （也可以求几项，猜结论，数学归纳法证明） . 1 2,2 2 1 1 21 n n n n aa即 8 分 （文 12 分） （3） nS nn n )221 2 1 () 12() 12() 11 () 1 2 1 ( 22 12 分 . 2 12 2 1 2 limlim, 2 1 2 2 1 1 n n n n n n n a nS n 【安徽省六校教育研究会安徽省六校教育研究会 20122012 届高三联考届高三联考】如果一个数列的各项都是实数，且从第二 项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫 这个数列的公方差 （）若数列既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列； n a （）已知数列是首项为，公方差为的等方差数列，数列的前项和为 n a22 n bn ，且满足若不等式对恒成立，求的取 n S n n n ba 1 2 2 2 222 n n n n amS * n Nm 值范围 【答案】 用心 爱心 专心- 5 - （1）解：依题 2 1 222 1 nnnn aaaa)()( 1111 nnnnnnnn aaaaaaaa 又为等差数列，设公差为，则 n ad0020)( 2 11 ddaaaad nnnn 故是常数列. 4 4 分分 n a （2）由是首项为 2，公方差为 2 的等方差数列. n a 即为首项为 4，公差为 2 的的等差数列，6 6 分分 2 n a22) 1(24 2 nnan 由得 n n n ba 1 2 2 nnn n n nna b 2 1 2 22 2 11 2 n n n S 2 1 2 4 2 3 1 32 132 2 1 22 3 2 2 2 1 nn n nn S 11132 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 nnnnnn n nnn S 1010 分分 n n n S 2 3 3 不等式即 2 222 n n n n amS442)3(23nmn nn 也即，即恒成立132)3(nm n n n m 2 13 3 由于时，；时，；1,2,3n 312nn 4n 312nn 假设时，(4)nk k312kk 那么， 1 22 22(31)3(1) 1 (32)3(1) 1 kk kkkk 由归纳法原理知：时，4n 312kk 所以， 31 0 2n n 03 m 故的取值范围为1414 分分m3m 【湖北省武昌区湖北省武昌区 20122012 届高三年级元月调研届高三年级元月调研】已知数列 1* 11 :2,332 (). nn nnn aaaanN 满足 （I）设证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； 2 , 3 n n n n a b n b n a （II）求数列； nn anS的前项和 用心 爱心 专心- 6 - （III）设对一切正整数 n 均成立， *1 (), n nnk n a CnNkNCC a 是否存在使得 并说明理由。 【答案】 解：（）， n n n n n n nn aa bb 3 2 3 2 1 1 1 1 1 3 2 3 2233 1 11 n n n n nnn n aa 为等差数列又， n b0= 1 b1nbn （4 分） nn n na231 （）设，则 n n nT3) 1(3130 21 3 132 3) 1(3130 n n nT 1 1 12 3) 1( 31 )31 (9 3) 1(332 n n nn n nnT 4 93)32( 2 3) 1( 4 39 111 nnn n nn T （8 分） 4 12332 222 31 2 nn n nn n TS （）由已知得，从而求得猜测 nn nn n n n C 231 23 11 , 62 259 , 13 62 , 2 13 321 CCC C1最大，下证： 1 11 1 21 1 23) 1(132)23( aa nn a a a a CC n nnnn n n n ，0 2 . 93)713( 1 aa n n nn 存在，使得对一切正整数均成立 （12 分）1k kn CC n 【黑龙江省绥棱一中黑龙江省绥棱一中 20122012 届高三理科期末届高三理科期末】函数，在等差数列中， 3 ( )f xx n a ，记， 3 7a 123 12aaa 3 1 () nn Sfa 令，数列的前 n 项和为 nnn ba S n b n T 用心 爱心 专心- 7 - （1）求的通项公式和 n a n S （2）求证。 1 3 n T 【答案】设数列的公差为 d , 由 n a72 13 daa1233 1321 daaaa 解得 d=3 1 1 a23 nan =3n+1 (6 分) 3 )(xxf)(3 1 nn afS 1n a (2) nn ab ) 13)(23(nnSn ) 13 1 23 1 ( 3 1 ) 13)(23( 11 nnnnbn ) 13 1 23 1 . 7 1 4 1 4 1 1 ( 3 11 . 11 21 nnbbb T n n （12 分） 3 1 ) 13 1 1 ( 3 1 n Tn 【甘肃省天水一中甘肃省天水一中 20122012 学年度第一学期高三第四阶段考学年度第一学期高三第四阶段考】已知数列 n a中， 6 5 1 a, 1 1 ) 2 1 ( 3 1 n nn aa，()记32 n n n ab ，证明数列 n b 是等比数列；()求数列 n a的通项公式. 【答案】解：()证明：)32( 3 2 32 1 1 n n n n aa ，故数列 n b是首项 3 4 32 11 ab ，公比为 3 2 的等比数列， 6 分 ()由()知： 1 3 2 ) 3 4 (32 n n n n ab 9 分 所以 nn n a) 3 1 (2) 2 1 (3 12 分 【浙江省杭州第十四中学浙江省杭州第十四中学 20122012 届高三届高三 1212 月月考月月考】设 Sn 为数列 an 的前n项和 （n1，2，3，）按如下方式定义数列 an：（），对任意， 1 am * Nm * Nk ，设 ak 为满足 的整数，且 k 整除 Sk.1k 01 k ak （I）当 时，试给出 an 的前 6 项；9m （II）证明：，有 ； * Nk 1 1 1 kk SS kk （III）证明：对任意的 m，数列 an 必从某项起成为常数列 【答案】解：（I）m = 9 时，数列为 9，1，2，0，3，3，3，3， 即前六项为 9，1，2，0，3，3. 4 分 用心 爱心 专心- 8 - （II）； 8 分 （III）有，由（II）可得， 为定值且单调不增，数列必将从某项起变为常数， 不妨设从 项起为常数，则，于是 所以，于是 所以当时成为常数列 15 分 【福建省南安一中福建省南安一中 20122012 届高三上期末届高三上期末】已知数列满足， n a 1 3a ，数列满足； * 1 33 () n nn aanN n b 3 n n n a b （）求证：数列是等差数列； n b （）设，求满足不等式的所有正整数 312 3452 n n aaaa S n 2 11 1284 n n S S 的值.n 【答案】 （1）证明：由，得， 3 n n n a b 1 1 1 3 n n n a b 1 1 1 1 333 nn nn nn aa bb 所以数列是等差数列，首项，公差为6 分 n b 1 1b 1 3 （2），则。8 分 12 1(1) 33 n n bn 1 3(2) 3 nn nn abn 从而有， 1 3 2 n n a n 故。11 分 21 312 1 331 1 333 34521 32 nn n n n aaaa S n 则，由，得。 2 2 311 3131 n n nn n S S 2 11 1284 n n S S 111 128314 n 即，得。33127 n 14n 故满足不等式的所有正整数的值为 2，3，4。13 分 2 11 1284 n n S S n 用心 爱心 专心- 9 - 【北京市朝阳区北京市朝阳区 20122012 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试】数列 n a， n b（1,2,3,n ）由下 列条件确定： 11 0,0ab；当2k 时， k a与 k b满足：当0 11 kk ba时， 1 kk aa, 2 11 kk k ba b；当0 11 kk ba时， 2 11 kk k ba a， 1 kk bb. （）若 1 1a ， 1 1b ，写出 234 ,a a a，并求数列 n a的通项公式； （）在数列 n b中，若 s bbb 21 (3s ,且*sN)，试用 11,b a表示 k b , 2 , 1sk； （）在（）的条件下，设数列 n c(*)nN满足 2 1 1 c，0 n c ， 2 2 1 2 m nnn m ccc ma (其中m为给定的不小于 2 的整数)，求证：当mn 时，恒有 1 n c. 【答案】 （）解：因为0 11 ba，所以1 12 aa,0 2 11 2 ba b. 因为01 22 ba,所以 2 1 2 22 3 ba a,0 23 bb. 因为 33 1 0 2 ab ,所以 33 4 1 24 ab a , 43 0bb. 所以 1234 11 1,1, 24 aaaa . 2 分 由此猜想，当2k时,0 11 kk ba，则 22 111 kkk k aba a， 1 0 kk bb . 3 分 下面用数学归纳法证明： 当2k 时，已证成立. 假设当kl（l N，且2l ）猜想成立， 即 11 0 ll ab ， 1 0 ll bb， 1 0 2 l l a a . 当1kl 时，由 1 0 2 l l a a ， 1 0 ll bb得0 ll ab，则 1 0 ll bb， 1 0 22 lll l aba a . 用心 爱心 专心- 10 - 综上所述，猜想成立. 所以 22 2 2 111 1(2) 222 nn n n aan . 故 2 11, 1 2. 2 n n n a n . 6 分 （）解：当sk 2时，假设 11 0 kk ab ，根据已知条件则有 1 kk bb， 与 s bbb 21 矛盾，因此 11 0 kk ab 不成立， 7 分 所以有 11 0 kk ab ，从而有 1kk aa ，所以 1 aak. 当0 11 kk ba时， 1 kk aa， 2 11 kk k ba b, 所以 11 111 1 () 22 kk kkkkk ab baaba ; 8 分 当sk 2时，总有 11 1 () 2 kkkk baba 成立. 又 11 0ba， 所以数列 kk ab (sk, 2 , 1)是首项为 11 ba，公比为 1 2 的等比数列, 1 11 2 1 )( k kk abab，1,2,ks, 又因为 1 aak，所以 1 1 11 2 1 )(aabb k k . 10 分 （）证明：由题意得 2 2 1 2 m nnn m ccc ma nn cc m 2 1 . 因为 2 1 1 nnn ccc m ，所以 2 1 1 0 nnn ccc m . 所以数列 n c是单调递增数列. 11 分 因此要证)( 1mncn,只须证1 m c. 用心 爱心 专心- 11 - 由2m，则 nnn cc m c 2 1 1 nnn ccc m 1 1 ，即 1 111 nn ccm . 12 分 因此 112211 1 ) 11 () 11 () 11 ( 1 cccccccc mmmmm m m m m1 2 1 . 所以1 1 m m c m . 故当mn ,恒有1 n c. 14 分 【西安市第一中学西安市第一中学 20122012 高三期中高三期中】已知数列 n a满足， * 1 12 12, 2 nn n aa aaanN 2 . 令 1nnn baa ，证明： n b是等比数列；()求 n a的通项公式。 【答案】解（1）证 121 1,baa 当2n 时， 1 111, 11 () 222 nn nnnnnnn aa baaaaab 所以 n b是以 1 为首项， 1 2 为公比的等比数列。 （2）解由（1）知 1 1 1 (), 2 n nnn baa 当2n 时， 121321 ()()() nnn aaaaaaaa 2 11 1 1()() 22 n 1 1 1 () 2 1 1 1 () 2 n 2 21 11 () 32 n 1 521 (), 332 n 当1n 时， 1 1 1 521 ()1 332 a 。 所以 1* 521 ()() 332 n n anN 。 【北京市东城区北京市东城区 20122012 学年度高三数第一学期期末学年度高三数第一学期期末】在等差数列中，其前 n a3 1 a 项和为，等比数列的各项均为正数，公比为，且， n n S n b1 1 bq12 22 Sb 2 2 b S q 用心 爱心 专心- 12 - （）求与； n a n b （）证明： 3 1 3 2111 21 n SSS 【答案】解：（）设的公差为， n ad 因为所以 , ,12 2 2 22 b S q Sb ， q d q dq 6 126 解得 或（舍） ，3q4q3d 故 ， 6 分33(1)3 n ann 1 3 n n b （）因为， 2 )33(nn Sn 所以 9 分) 1 11 ( 3 2 )33( 21 nnnnSn 故 12 111 n SSS 21111111 (1)()()() 3223341nn 11 分) 1 1 1 ( 3 2 n 因为 ，所以，于是，n1 1 1 0 n2 1 2 1 1 1 1 1 n 所以 3 1 3 2 ) 1 1 1 ( 3 2 n 即 13 分 3 1 3 2111 21 n SSS 【北京市西城区北京市西城区 20122012 学年度第一学期期末学年度第一学期期末】已知数列 12 :, nn Aa aa.如果数列 12 :, nn Bb bb满足 1n ba， 11kkkk baab ， 其中2,3,kn，则称 n B为 n A的“衍生数列”. （）若数列 41234 :,Aa a a a的“衍生数列”是 4:5, 2,7,2 B，求 4 A； （）若n为偶数，且 n A的“衍生数列”是 n B，证明： n B的“衍生数列”是 n A； （）若n为奇数，且 n A的“衍生数列”是 n B， n B的“衍生数列”是 n C，.依次将数列 用心 爱心 专心- 13 - n A， n B， n C，的第(1,2, )i in项取出，构成数列:, iiii a b c. 证明： i 是等差数列. 【答案】 （）解： 4:2,1,4,5 A. 3 分 （）证法一： 证明：由已知， 111 () n baaa， 212121 () n baabaaa. 因此，猜想 1 ( 1) () i iin baaa . 4 分 当1i 时， 111 () n baaa，猜想成立； 假设 * ()ik kN时， 1 ( 1) () k kkn baaa . 当1ik时， 11kkkk baab 11 ( 1) () k kkkn aaaaa 11 ( 1) () k kkkn aaaaa 1 11 ( 1)() k kn aaa 故当1ik时猜想也成立. 由 、 可知，对于任意正整数i，有 1 ( 1) () i iin baaa . 7 分 设数列 n B的“衍生数列”为 n C，则由以上结论可知 111 ( 1) ()( 1) ()( 1) () iii iininn cbbbaaabb ，其中1,2,3,in. 由于n为偶数，所以 11 ( 1) () n nnn baaaa ， 所以 11 ( 1) ()( 1) () ii iinni caaaaaa ，其中1,2,3,in. 因此，数列 n C即是数列 n A. 9 分 证法二： 因为 1n ba， 1212 bbaa， 2323 bbaa， 用心 爱心 专心- 14 - 11nnnn bbaa ， 由于n为偶数，将上述n个等式中的第2,4,6,n这 2 n 个式子都乘以1，相加得 11223112231 ()()()()()() nnnnn bbbbbbbaaaaaaa 即 1n ba ， 1n ba. 7 分 由于 1n ab， 11( 2,3, ) iiii abbain ， 根据“衍生数列”的定义知，数列 n A是 n B的“衍生数列”. 9 分 （）证法一： 证明：设数列 n X, n Y, n Z中后者是前者的“衍生数列”.欲证 i 成等差数列，只需证 明, iii x y z成等差数列，即只要证明2(1,2,3, ) iii yxzin即可. 10 分 由（）中结论可知 1 ( 1) () i iin yxxx ， 1 ( 1) () i iin zyyy 11 ( 1) ()( 1) () ii inn xxxyy 11 ( 1) ()( 1) ( 1) () iin innnn xxxxxxx 11 ( 1) ()( 1) () ii inn xxxxx 1 2( 1) () i in xxx， 所以， 1 22( 1) ()2 i iiini xzxxxy，即, iii x y z成等差数列， 所以 i 是等差数列. 13 分 证法二： 因为 11( 2,3,4, ) iiii baabin ， 所以 11 () (2,3,4, ) iiii babain . 所以欲证 i 成等差数列，只需证明 1 成等差数列即可. 10 分 对于数列 n A及其“衍生数列” n B， 因为 1n ba， 用心 爱心 专心- 15 - 1212 bbaa， 2323 bbaa， 11nnnn bbaa ， 由于n为奇数，将上述n个等式中