数学解题中有关向量的运用

数学解题中有关向量的运用向量是高中新教材中新增加的重要内容之一,它有着丰富的物理背景，它既是代数研究的对象，又是几何研究的对象，是集“数、形”于一身的数学概念，是抽象代数、线性代数、泛函分析中的基本数学模型。向量主要以平面几何,直角坐标系,三角函数等知识为基础，通过向量的学习，一方面将我们对量的数学表达式的认识进入到一个新的领域，另一方面将增进我们的空间想象能力,思维能力和分析,解决实际问题的能力.向量是一个很有用的数学工具，它的运用非常广泛，由于常规视角的转变，形成了新的探索途径,它不仅要求教师要学习新内容，而且要从思想方法上研究新内容的内涵实质，修整原有的认知，用向量的观点研究以往教材的知识结构体系，培养学生运用向量解决问题的意识。一、在三角函数中向量的运用证明正余弦的两角和与差公式，是向量数量积的一个直接运用，较之传统证明方法更加简洁明了。例1 利用向量方法证明公式：cos()=coscos+sinsin证明：如图1，在单位圆中作向量 、 ，它们与x轴正向的夹角分别是、，则点A的坐标是 (cos, sin) ，点B的坐标是 (cos, sin) ，则 = coscos+sinsin , 又 = | cos() 则 等式cos()=coscos+sinsin 成立。 二、在不等式中向量的运用利用向量数量积的一个重要性质，变形为可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时有效提高学生的观察分析能力和想象能力。例2 设任意实数x、y满足|x|1,|y|0,y0，且x+y=1，求的最大值三、在平面几何中向量的运用向量方法是借助向量的几何意义，把问题转化为向量的计算，通过向量计算达到求解目的，用向量方法解决几何问题，一方面体现向量的运用性，另一方面能在运用中加深对向量知识的理解与掌握。例4（课本的一道练习） 求证:直径所对的圆周角是直角.证明:令为圆O直径,即AB=2 O为AB中点 又 即 所以直径所对的圆周角为直角由于此例只须通过向量的运算便可得出结论，学生得到很大的启发，既巩固了向量运算的方法，又有了运用向量解决数学问题的体验,从而提高学习数学的兴趣。四、在解析几何中向量的运用。高考命题中对知识综合性的考查，往往在知识网络交汇点上设计试题，注重学科的内在联系和综合，而向量则是三角函数、解析几何等多个部分的知识交汇点。因此也是将来高考的命题热点。例5（1995年高考题）已知椭圆：，直线，P是上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ 解：如图4，因共线。故可设，则， 由，得 ， 点R在椭圆上，点P在上， 即 整理得 例6（2000年高考题）椭圆的焦点为，点P为其上动点。当为钝角时，点P横坐标的取值范围是_。 解：焦点为。设点P（x，y），则由向量内积的定义知为钝角的充要条件是。 又，代入上式解得 在高中数学中运用向量知识解题，特别是几何问题，思路会更清晰、目标更明确、更易于掌握。而作为学生，因为接触到了新的内容，不仅会增大知识的容量，而且由于立足于向量这一新的视角，会进一步拓宽思维的渠道。五、在立体几何中向量的运用现行立体几何最大的变化是引进空间向量，空间向量已是立体几何中的重要内容，它改变了以往立体几何中的思维方法和解题方法，因为用向量来运算避免了繁琐的定性分析，使问题得到了大大简化，尤其在解决垂直、夹角和距离等问题时有较大的优越性。例7 如图3，在600的二面角-L-中，已知A、B到L的距离AC、BD分别是2和4，有AB=10。求(1)CD的长度；(2)AB和棱L所成的角。分析: (1)求CD的长度可以转化为求|， 而可利用向量加法求得；(2)求异面直线AB与L所成的角可以转化为求与所成的角，这点利用向量的数量积很快可以办到。例8 如图，已知空间四边形ABCD，ABAD，BAC=600 ,CA=CD=4，AD=3. 求二面角CABD的大小。分析：在此题中要作出二面角CABD的平面角是一件不容易的事。如果用空间向量则根本不用作出二面角CABD的平面角也能求出， ADAB，我们只要作CEAB，那么二面角CABD的大小就是空间向量与的所成角的大小。再根据公式= | cos即：= | cos很容易地就可以求出。以向量为工具可以把几何图形的性质转化为向量的运算性质，实现“数与形”的结合，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，这样通过向量就能比较容易地解决几何中的某些问题。新教材增加了向量的内容，是因为向量是解决问题的有效的思想方法，它为教材增加了新鲜的血液，使得教材体系更