数学题型预测广东卷人教

2006年高考数学题型预测广东卷1椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是 （A） （B） （C） （D）以上答案均有可能解：静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选B；静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选C；静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选A。于是三种情况均有可能，故选D。点评：圆锥曲线的光学性质的运用。（体现跨学科综合的特色）2（理科做）已知是正四面体的面上一点，到面 的距离与到点的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是 ( D )A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆 解：设二面角SBCA的大小为，则 设PS=PO=x(其中O为P在面ABC的射影)，则P到BC的距离为 ，于是，即故动点P的轨迹所在曲线为椭圆。点评：本小题体现立几与解几知识的整合与重组。3已知函数的图象(部分)如图所示. (1) 求函数的解析式;(2) 若函数的图象按向量平移后得到函数的图象, 求向量m解: (1)根据图象,(1分)周期.(3分)当时, . (5分) (6分)(2)函数的图象按向量平移后,得到即的图象, (8分), 点评：由于高考对三角的淡化，今年高考注意三角函数的图象与性质的考试题向。很可能把向量平移知识点交织其中。4设、是函数的两个极值点，且（1）证明：；（2）证明：；（3）若函数，证明：当且时，解：（1）是的两个极值点，是方程的两个实数根1分2分3分4分5分（2）设，则6分由，8分得在区间上是增函数，在区间上是减函数，9分10分（3）是方程的两个实数根，11分12分又14分点评：本题是函数、导数、方程、不等式的综合问题。具明显的代数推证题味道。代数推证题解题特色：考试方法：（1） 审清题意。（理解题意，会换个说法）（2） 明确证题方向。（明确条件式、目标式、过渡式）（3） 运用数学分析思想，探求思路。赋值、特例探路；分析综合两头凑；数形结合；分类讨论；反证法（4） 边想边写，注意层次。（注意各小题间方法的启示性）求解步骤 （1）领会题意。弄清题目的条件及结论是什么。如果条件和结论是用文字表达的，把它翻译为数学语言。 （2）明确方向。也就是弄清怎样的过程才叫完成了证明，从条件到结论需要用到哪些概念、定理和方法。 （3）规范表述。也就是采用适当的步骤，合乎逻辑的进行推理和运算，并能正确的表述。ABCDFA1B1C15题图高考命题方向：（1） 函数与不等式综合问题。（有高等数学背景）（2） 数列、极限与不等式综合问题。（这是从数列极限的高等数学背景考虑的）5（12分）直三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AC=AA1=3a,BC=2a, D是BC的中点，F是C1C上一点，且CF=2a.(1)求证：B1F平面ADF；ABCDFA1B1C1GH5题图A(2)求平面ADF与平面AA1B1B所成角的正弦值.解.解法1（1）因为AB=AC,D是BC的中点，所以ADBC.又平面CC1B1BABC ，则AD平面CC1B1B. B1F 在平面CC1B1B内，ADB1F. 4分 在矩形CC1B1B中tanC1B1F=tanCFD=，所以C1B1F=CFD ，C1FB1+CFD=C1FB1+C1B1F=900, 因此FDB1F ,即证B1F平面ADF；6分 (2)延长FD，B1B交于G，则AG为所求二面角的棱.由RtFCDRtGBD,所以CF=GB=2a.过B1作B1HAG,且B1H与AG交于H.又 B1F平面ADF，FHAG, B1HF为所求二面角的平面角. 8分 ABCDFA1B1C1D1xyz5题图B由RtABGRtB1HG ,解得B1H =.而B1F=，=，sinB1HF=，即所求二面角的正弦值是.12分解法2： 以D为坐标原点，DA、DB、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系（D1是C1B1的中点），易知A（2a,0,0）,B(0,a,0),F(0,-a,2a), B1(0,a,3a), 4分, ,由且，得B1FDF, B1FDA,即证B1F平面ADF；6分 （2）由（1）知，设平面AA1B1B的一个法向量为，则且，可取，8分 由cos=-得，sin=.即所求值.12分点评：立几的命题趋势：证垂直与求二面角（以柱体为载体考查） 题型特点：可以运用两大主流方法：传统方法与向量方法。6如图，的内切圆与三边、的切点分别为、已知内切圆圆心设点的轨迹为（1）求的方程；IFBCxyADEO（2）过点作直线交曲线于不同的两点、，问在轴上是否存在一个异于的定点，使对任意的直线都成立？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由（1）解：由题知，2分4分根据双曲线的定义知，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去，故的方程为（注：未写出，扣1分）（2）解法一：设点，由（1）可知，于是：直线轴时，点在轴上任何一点处，都能够使得成立当直线不与轴垂直时，设直线，由消去，得，则10分，所以，要使成立，只要使成立，即，即，即，即所以，当点的坐标为时，能够使得成立解法二：设满足条件的点存在，8分根据角平分线定理，曲线的准线为，设与轴的交点为假设与不重合，则过、分别引的垂线、，垂足分别为、，过引的平行线，分别交直线、于、由双曲线的性质知，10分，又轴，由知，所以，轴，这与是过点的任意一条直线矛盾因此，与重合，即存在点满足条件12分点评：解几题向：平几图形与解几曲线相结合，向量与解几知识交汇，具明显新教材韵味，体现教改新理念。主要考查轨迹、直线与圆锥曲线关系，命题具探索性与开放性。7(12分)已知有三个居民小区A、B、C构成三角形ABC，这三个小区分别相距BC =800m、AB=700m、AC =300m为解决居民就业，服务小区生活，在与A、B、C三个小区距离相等处建造一个食品加工厂同时为了不影响小区居民的正常生活和休息，在厂房的四周需要安装隔音窗或建造隔音围墙。根据以往经验，机器从厂房发出的噪音是85分贝，而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过50分贝，每安装一道隔音窗噪音降低3分贝，花费3万元。隔音窗不能超过3道；每建造一堵隔音墙噪音降低15分贝，花费10万元；距离厂房平均每25m噪音均匀降低1分贝 (1)求加工厂距A区的距离( 1.732，精确到lm)；(2)怎样建造隔音设备，使其隔音设备成本最低?解(1)由题设知，所求距离为ABC外接圆半径R(2)设需要安装x道隔音窗，建造y堵隔音墙，总成本为S万元，由题意得：点评：数学应用题常常避开大家关注的热点，如概率、概率分布列及期望与方差。 今年请关注线性规范及其应用。8过点作曲线的切线切点为，设在轴上的投影为，又过作曲线的切线切点为，设在轴上的投影为；依次下去，得到一系列点，设的横坐标是，（1）证明为等比数列，并求；(2)证明；(3)证明 。解：（1）为了求切线的斜率，只要对求导数，得。若切点是，则切线方程是。时，切线过点，即，得，时，切线过点，即，得，所以数列是首项为。公比为的等比数列。 。（2）二项式定理得=。（3）记，则两式错位相减，得点评：（命题者大多数在八十年代之前高中毕业，这批人对数列有特别的偏好）。数列应成为高考数学压轴题的题向。数列、不等式等综合。高考解答题后三题是高考中的能力把关题，试题突出思想性和综合性，内容以解析几何和代数推理为主。解析几何常以平面向量为“切入口”，考查直线、圆、圆锥曲线及它们之间的关系，重点检测求曲线方程、参数范围、轨迹、最值、定值及探索性问题。代数推理题常把函数、方程、数列、不等式、导数等有机结合起来加以考查。简易逻辑内容的加入，为充要条件和反证法的考查提供了更大的可能性，复习中应予以足够的重视。需要提醒的是，信