数学等差数列

高考数学复习 等差数列高考要求：1、 理解等差数列的概念，2、 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，3、 并能解决简单的实际问题考点回顾：等差数列1定义：2通项：，推广：3前n项的和：4中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c5简单性质:(1)(2)组成公差为的等差数列.(3)组成公差为的等差数列.考点解析考点1、等差数列的相关概念与性质EG1.在等差数列中,已知解:设首项为,公差为,则B1-1.若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数. 解:,B1-2.已知为等差数列,前10项的和为前100项的和,求前110项的和分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项与公差的两个方程.解法一:设的首项为,公差,则分析二:运用前n项和变式: 解法二: 为等差数列,故可设,则解法三：考点2、通项公式与求和EG2数列的前n项和(1) 是什么数列? (2)设的前n项和.分析:本题考查数列的基础知识,以及含绝对值的数列前n项和的求法.在求和前前首先要确定,从哪一项开始该项的值为负,然后将和分段表示.解:(1)又(2)令当,所以的前n项和 当,由得数列的前n项和为由得数列的前n项和为B2-1.数列的前项的和 ；求通项公式。解：当时 ， 当时 ，显然不适合B2-2若数列成等差数列，且，求解：（法一）基本量法（略）； （法二）设，则得：， ，考点3、等差数列的性质及应用EG3在等差数列中，其它的前项和，若 . 210B3-1等差数列an中，.记，则S13等于A168B156C152D78B3-2设Sn是等差数列的前n项和，若（ ） AA1 B1 C2 D考点4、等差数列中的最值EG4、（1）设等差数列的前n项之和为Sn，已知a3=12，S120，S13 B、 d3 C、 d3 D、 d33设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则 （ ）BA. B. C. D.4.等差数列an中，a100，a110且a11|a10|，Sn为其前n项和，则A.S1，S2，S10都小于0，S11，S12，都大于0B.S1，S2，S19都小于0，S20，S21，都大于0C.S1，S2，S5都小于0，S6，S7，都大于0D.S1，S2，S20都小于0，S21，S22，都大于0解析：由题意知 可得d0，a10.又a11|a10|=a10，a10+a110.由等差数列的性质知a1+a20=a10+a110，S20=10（a1+a20）0.答案：B5.等差数列an的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列Sn中也为常数的项是A.S7 B.S8C.S13D.S15解析：设a2+a4+a15=p（常数），3a1+18d=p，即a7=p.S13=13a7=p.答案：C6.在等差数列an中，公差为，且a1+a3+a5+a99=60，则a2+a4+a6+a100=_.解析：由等差数列的定义知a2+a4+a6+a100=a1+a3+a5+a99+50d=60+25=85.答案：854.将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行182022242826那么2004应该在第_行第_列.解法一：由2004是正偶数列中第1002项，每一行四项，故在第251行中的第二个数.又第251行是从左向右排且从第二行开始排，故2004为第251行第3列.解法二：观察第三列中的各数，可发现从上依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，可算得2004为此数列的第251项.答案：251 37等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若的值为 8已知数列的前项和，则数列的通项公式，是。9一个凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差为10，最小内角为100，则边数8.10等差数列中，则通项，前11项和为242。11.等差数列an中,已知S10=10,S20=30,求S30= ,( S30=70)12.等差数列an和bn的前n项之和之比为(3n+1)：(2n+3),则= 。（=）13设是等差数列，求证：以为通项公式的数列是等差数列。分析：解题过程使用了等差数列的判断方法和前n项和公式，要求能利用所学知识解题。解法一：设等差数列的公差为，前n项和为，则是等差数列。解法二：设的前n项和为，是等差数列。14已知数列的首项,通项与前n项和之间满足(1)求证:是等差数列,并求公差;(2)求数列的通项公式;(3)数列中是否存在正整数k,使得不等式对任意不小于k的正整数都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,请说明理由.解:(1)当(2)(3)所求最小k=3.15、项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。解：（1）由已知可得所以=2，S15=设等差数列共2n-1项,则所以此数列共31项.中间项直击高考1.（2003年全国，文5）等差数列an中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n是A.48 B.49 C.50 D.51解析：由已知解出公差d=，再由通项公式得+（n1）=33，解得n=50.答案：C2.（2003年全国，8）已知方程（x22x+m）（x22x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|等于A.1B.C.D.解析：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，m=，n=.|mn|=.答案：C3.（2004年春季上海，7）在数列an中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线xy=0上，则an=_.解析：将点代入直线方程得=，由定义知是以为首项，以为公差的等差数列，故=n，即an=3n2.答案：3n24.（2003年春季上海，12）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为_.解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f（x）+f（1x）=，即f（5）+ f（6）=，f（4）+f（5）=，f（3）+f（4）=，f（2）+f（3）=，f（1）+ f（2）=，f（0）+f（1）=，故所求的值为3.答案：35（2006年广东卷）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是A.5 B.4 C. 3 D.22，故选C.6 ( 2006年重庆卷)在等差数列an中，若aa+ab=12,SN是数列an的前n项和，则SN的值为 (B)（A）48 (B)54 (C)60 (D)667（2006年全国卷II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则 (A)（A） （B） （C） （D）9（2006年天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（C）A55 B70C85D10010（2006年全国卷I）设是公差为正数的等差数列，若，则A B C D11，将代入，得，从而。选B。这个题主要反映一个“元”的概念：确定一个等差数列，需要且只要两个独立的“元”。在这个解法中，我选择的是和d。11（2006年江西卷）已知等差数列an的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（ A ）A100 B. 101 C.200 D.20112（ 2006年浙江卷）设S为等差数列a,的前n项和，若S-10, S=-5,则公差为-1（用数字作答）.13（2006年江苏卷）设数列、满足：，（n=1,2,3,），证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）证明：必要性：设数列是公差为的等差数列，则：=-=0，（n=1,2,3,）成立；又=6（常数）（n=1,2,3,）数列为等差数列。充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1,2,3,）， 得：= 从而有得：，由得：（n=1,2,3,），由此，不妨设（n=1,2,3,），则（常数）故从而得：，故（常数）（n=1,2,3,），数列为等差数列。综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）。14. （2006年上海春卷）已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ . 解（1）. 4分 （2）， 8分 ， 当时，. 12分 （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 14分研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围. 16分研究的结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等. 18分经典回顾：【例1】 数列an的前n项和为Sn=npan（nN*）且a1a2，（1）求常数p的值；（2）证明：数列an是等差数列.剖析：（1）注意讨论p的所有可能值.（2）运用公式an= 求an.解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，a1=a2，与已知矛盾，故p1.则a1=0.当n=2时，a1+a2=2pa2，（2p1）a2=0.a1a2，故p=.（2）由已知Sn=nan，a1=0.n2时，an=SnSn1=nan（n1）an1.=.则=，=.=n1.an=（n1）a2，anan1=a2.故an是以a2为公差，以a1为首项的等差数列.评述：本题为“Snan”的问题，体现了运动变化的思想.【例2】 已知an为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.剖析：方程的思想，将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程.解：设an的首项为a1，公差为d，则解得S110=110a1+110109d=110.评述：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.思考讨论此题能按等差数列的关于和的性质来求吗?【例3】 已知数列an的前n项和Sn=12nn2，求数列|an|的前n项和Tn.剖析：由Sn=12nn2知Sn是关于n的无常数项的二次函数（nN*），可知an为等差数列，求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn.解：当n=1时，a1=S1=1212=11；当n2时，an=SnSn1=12nn212（n1）（n1）2=132n.n=1时适合上式，an的通项公式为an=132n.由an=132n0，得n，即当 1n6（nN*）时，an0；当n7时，an0.（1）当 1n6（nN*）时，Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=12nn2.（2）当n7（nN*）时，Tn=|a1|+|a2|+|an|=（a1+a2+a6）（a7+a8+an）=（a1+a2+an）+2（a1+a6）=Sn+2S6=n212n+72.Tn= 评述：此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成an的求和问题.例4.设等差数列an的前n项和为Sn，已知a3=12，S120，S130.（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，S12中哪一个最大，并说明理由.解：（1）a3=12，a1=122d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S120，S130，即0，且0，解之得d3.（2）由an=12+（n3）d0，由d3，易知a70，a60，故S6最大.例5.已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn1=0（n2），a1=.（1）求证：是等差数列；（2）求an的表达式.（1）证明：an=2SnSn1，Sn+Sn1=2SnSn1（n2），Sn0（n=1，2，3）.=2.又=2，是以2为首项，2为公差的等差数列.（2）解：由（1），=2+（n1）2=2n，Sn=.当n2时，an=SnSn1=或n2时，an=2SnSn1=；当n=1时，S1=a1=.an= 例6（理）设实数a0，函数f（x）=a（x2+1）（2x+）有最小值1.（1）求a的值；（2）设数列an的前n项和Sn=f（n），令bn=，证明:数列bn是等差数列.（1）解：f（x）=a（x）2+a，由已知知f（）=a=1，且a0，解得a=1，a=2（舍去）.（2）证明：由（1）得f（x）=x22x，Sn=n22n，a1=S1=1.当n2时，an=SnSn1=n22n（n1）2+2（n1）=2n3，a1满足上式即an=2n3.an+1an=2（n+1）32n+3=2，数列an是首项为1，公差为2的等差数列.a2+a4+a2n=n（2n1），即bn=2n1.bn+1bn=2（n+1）12n+1=2.又b2=1，bn是以1为首项，2为公差的等差数列.例7已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+anxn，n为正偶数，且a1，a2，a3，an组成等差数列，又f（1）=n2，f（1）=n.试比较f（）与3的大小.解：f（1）=a1+a2+an=n2.依题设，有=n2，故a1+an=2n，即2a1+（n1）d=2n.又f（