新3高考2模拟高考数学第六章第一节等差数列、等比数列的概念及求和

用心 爱心 专心 第六章 数列 第一节第一节 等差数列、等比数列的概念及求和等差数列、等比数列的概念及求和 第一部分第一部分 三年高考体题荟萃三年高考体题荟萃 20102010 年高考题年高考题 一、选择题 1.1.（20102010 浙江理）浙江理） （3）设 n S为等比数列 n a的前n项和， 25 80aa，则 5 2 S S （A）11 （B）5 （C）8 （D）11 解析：通过 25 80aa，设公比为q，将该式转化为08 3 22 qaa，解得q=-2，带入 所求式可知答案选 D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公 式，属中档题 2.2.（20102010 全国卷全国卷 2 2 理）理） （4）.如果等差数列 n a中， 345 12aaa，那么 127 .aaa （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 17 345441274 7() 312,4,728 2 aa aaaaaaaaa 3.3.（20102010 辽宁文）辽宁文） （3）设 n S为等比数列 n a的前n项和，已知 34 32Sa， 23 32Sa，则公比q （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】 B 解析：选 B. 两式相减得， 343 3aaa， 4 43 3 4,4 a aaq a . 4.4.（20102010 辽宁理）辽宁理） （6）设an是有正数组成的等比数列， n S为其前 n 项和。已知 a2a4=1, 3 7S ,则 5 S 用心 爱心 专心 （A） 15 2 (B) 31 4 (C) 33 4 (D) 17 2 【答案】B 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，考查了同学们解决问题的 能力。 【解析】由 a2a4=1 可得 24 1 1a q ，因此 1 2 1 a q ，又因为 2 31(1 )7Saqq，联力两 式有 11 (3)(2)0 qq ，所以 q= 1 2 ,所以 5 5 1 4(1) 31 2 1 4 1 2 S ，故选 B。 5.5.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文）(6)如果等差数列 n a中， 3 a+ 4 a+ 5 a=12，那么 1 a+ 2 a+ 7 a= （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【答案】C C 【解析解析】本题考查了数列的基础知识。本题考查了数列的基础知识。 345 12aaa ， 4 4a 127174 1 7 ()728 2 aaaaaa 6.6.（20102010 安徽文）安徽文）(5)设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn，则 8 a的值为 （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 【答案】 A 【解析】 887 644915aSS. 【方法技巧】直接根据 1( 2) nnn aSSn 即可得出结论. 7.7.（20102010 浙江文）浙江文）(5)设 n s为等比数列 n a的前n项和， 25 80aa则 5 2 S S (A)-11 (B)-8 (C)5(D)11 解析：通过 25 80aa，设公比为q，将该式转化为08 3 22 qaa，解得q=-2，带入 所求式可知答案选 A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公 式 8.8.（20102010 重庆理）重庆理） （1）在等比数列 n a中， 20102007 8aa ，则公比 q 的值为 用心 爱心 专心 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A 解析：8 3 2007 2010 q a a 2q 9.9.（20102010 广东理）广东理）4. 已知 n a为等比数列，Sn是它的前n项和。若 231 2aaa， 且 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 ，则 5 S= A35 B.33 C.31 D.29 【答案】C 解析：设 n a的公比为q，则由等比数列的性质知， 23141 2aaa aa，即 4 2a 。由 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 知， 47 5 22 4 aa，即 74 15151 (2)(22) 24244 aa 3 7 4 1 8 a q a ，即 1 2 q 3 411 1 2 8 aa qa，即 1 16a 10.10.（20102010 广东文）广东文） 11.11.（20102010 山东理）山东理） 用心 爱心 专心 12.12.（20102010 重庆文）重庆文） （2）在等差数列 n a中， 19 10aa，则 5 a的值为 （A）5 （B）6 （C）8 （D）10 【答案】 A 解析：由角标性质得 195 2aaa，所以 5 a=5 二、填空题 1.1.（20102010 辽宁文）辽宁文） （14）设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 36 324SS，则 9 a 。 解析：填 15. 31 61 3 2 33 2 6 5 624 2 Sad Sad ,解得 1 1 2 a d ， 91 815.aad 2.2.（20102010 福建理）福建理）11在等比数列 n a中,若公比q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的 通项公式 n a 【答案】 n-1 4 【解析】由题意知 111 41621aaa，解得 1 1a ，所以通项 n a n-1 4。 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用，属基础题。 3.（20102010 江苏卷）江苏卷）8、函数 y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_ 解析：考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为： 2 2(), kkk yaaxa当0y 时，解得 2 k a x ， 用心 爱心 专心 所以 1135 ,164 121 2 k k a aaaa 。 三、解答题 1.1.（20102010 上海文）上海文）21.(21.(本题满分本题满分 1414 分分) )本题共有本题共有 2 2 个小题，第一个小题满分个小题，第一个小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 个个 小题满分小题满分 8 8 分。分。 已知数列 n a的前n项和为 n S，且585 nn Sna， * nN (1)证明：1 n a 是等比数列； (2)求数列 n S的通项公式，并求出使得 1nn SS 成立的最小正整数n. 解析：(1) 当n1 时，a114；当n2 时，anSnSn15an5an11，所以 1 5 1(1) 6 nn aa ， 又a11150，所以数列an1是等比数列； (2) 由(1)知： 1 5 115 6 n n a ，得 1 5 1 15 6 n n a ，从而 1 5 7590 6 n n Sn (nN N*)； 由Sn1Sn，得 1 52 65 n ， 5 6 2 log114.9 25 n ，最小正整数n15 2.2.（20102010 陕西文）陕西文）16.（本小题满分 12 分） 已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列. （）求数列an的通项;（）求数列2an的前n项和Sn. 解 （）由题设知公差d0， 由a11，a1，a3，a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d ， 解得d1，d0（舍去） ， 故an的通项an1+（n1）1n. ()由（）知2 m a =2n，由等比数列前 n 项和公式得 Sm=2+22+23+2n= 2(1 2 ) 1 2 n =2n+1-2. 3.3.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文） （18） （本小题满分 12 分） 已知 n a是各项均为正数的等比数列，且 用心 爱心 专心 12 12 11 2()aa aa ， 345 345 111 64()aaa aaa （）求 n a的通项公式； （）设 2 1 () nn n ba a ，求数列 n b的前n项和 n T。 【解析】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。 （1）设出公比根据条件列出关于 1 a 与d的方程求得 1 a 与d，可求得数列的通项公式。 （2）由（1）中求得数列通项公式，可求出 BN 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分 成两个等比数列分别求和即可求得。 4.4.（20102010 江西理）江西理）22. （本小题满分 14 分） 证明以下命题： （1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(b0 由 a2+a716.得 1 2716ad 由 36 55,aa得 11 (2 )(5 )55ad ad 由得 1 2167ad将其代入得(163 )(163 )220dd。即 2 2569220d 2 4,0,2,1 1 (1) 221 n ddd ann 1 又代入得a （2）令 121121 , 2 n nnnnn n b caccc accc 则有 两式相减得 1111 1 111 1 ,(1)1,2 2,2(2),2222 2,(1) 2(2) nnnnn n nnn n n aacaaa ccnnbba n b n 由得 即当时，又当n=1时， 于是 341 123 2222n nn Sbbbb = 2341 22222n-4= 1 22 2(21) 426,26 2 1 n nn n S 即 27. （2009 福建卷文）等比数列 n a中，已知 14 2,16aa （I）求数列 n a的通项公式； （）若 35 ,a a分别为等差数列 n b的第 3 项和第 5 项，试求数列 n b的通项公式及前 n项和 n S。 用心 爱心 专心 解：（I）设 n a的公比为q 由已知得 3 162q，解得2q （）由（I）得 2 8a ， 5 32a ，则 3 8b ， 5 32b 设 n b的公差为d，则有 1 1 28 432 bd bd 解得 1 16 12 b d 从而16 12(1)1228 n bnn 所以数列 n b的前n项和 2 ( 16 1228) 622 2 n nn Snn 28（2009 重庆卷文） （本小题满分 12 分， （）问 3 分， （）问 4 分， （）问 5 分） 已知 1 1221 1,4,4, n nnnn n a aaaaa bnN a （）求 123 ,b b b的值； （）设 1,nnnn cb bS 为数列 n c的前n项和，求证：17 n Sn； （）求证： 2 2 11 64 17 nn n bb A 解：（） 234 4,17,72aaa，所以 123 1772 4., 417 bbb （）由 21 4 nnn aaa 得 2 11 4 nn nn aa aa 即 1 1 4 n n b b 所以当2n时，4 n b 于是 1121 ,17,4117(2) nnnn cb bcb bbn 所以 12 17 nn Scccn （）当1n 时，结论 21 117 464 bb成立 当2n时，有 1 11 11 111 |44| | 17 nn nnnn nnnn bb bbbb bbb b 1221 212 1111 |(2) 171764 17 nn nn bbbbn A 所以 2121221nnnnnnnn bbbbbbbb 用心 爱心 专心 1 122* 2 11 ()(1) 1111111 1717 ()()()() 1 4171717464 17 1 17 n n nnn n nN AA 20082008 年高考题年高考题 一、选择题 1.（2008 天津）若等差数列 n a的前 5 项和 5 25S ，且 2 3a ，则 7 a ( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案 B 2.（2008 陕西）已知 n a是等差数列， 12 4aa， 78 28aa，则该数列前 10 项和 10 S等于（ ） A64 B100 C110 D120 答案 B 3.（2008 广东）记等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1 1 2 a ， 4 20S ，则 6 S （ ） A16 B24 C36 D48 答案 D 4.（2008 浙江）已知 n a是等比数列， 4 1 2 52 aa，则 13221 nna aaaaa=（ ） A.16（ n 41） B.6（ n 21） C. 3 32 （ n 41） D. 3 32 （ n 21） 答案 C 5.（2008 四川）已知等比数列 n a中 2 1a ，则其前 3 项的和 3 S的取值范围是() A., 1 B. ,01, C.3, D. , 13, 答案 D 6.（2008 福建)设an是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列an前 7 项的 和为( ) 用心 爱心 专心 A.63B.64C.127D.128 答案 C 二、填空题 17.（2008 四川）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 45 10,15SS，则 4 a的最大值 为_. 答案 4 18.（2008 重庆)设Sn=是等差数列an的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= . 答案 -72 三、解答题 23.（2008 四川卷） 设数列 n a的前n项和为 n S，已知21 n nn babS （）证明：当2b 时， 1 2n n an 是等比数列； （）求 n a的通项公式 解 由题意知 1 2a ，且21 n nn babS 1 11 21 n nn babS 两式相减得 11 21 n nnn b aaba 即 1 2n nn aba （）当2b 时，由知 1 22n nn aa 于是 1 1 2221 2 nnn nn anan 1 22n n an 又 1 1 1 210 n a ，所以 1 2n n an 是首项为 1，公比为 2 的等比数列。 （）当2b 时，由（）知 11 22 nn n an ，即 1 1 2n n an 当2b 时，由由得 11 1 11 222 22 nnn nn aba bb 2 2 n n b ba b 用心 爱心 专心 1 2 2 n n b a b 因此 1 1 11 22 22 nn nn ab a bb 2 1 2 n b b b 得 1 21 1 2222 2 n nn n a b bn b 24.（2008 江西卷）数列 n a为等差数列， n a为正整数，其前n项和为 n S，数列 n b为 等比数列，且 11 3,1ab，数列 n a b是公比为 64 的等比数列， 22 64b S . （1）求, nn a b； （2）求证 12 1113 4 n SSS . 解：（1）设 n a的公差为d， n b的公比为q，则d为正整数， 3(1) n and， 1n n bq 依题意有 1 3 6 3 (1) 22 642 (6)64 n n nd a d nd a b q q bq S bd q 由(6)64d q知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一， 解得2,8dq 故 1 32(1)21,8n nn annb （2）35(21)(2) n Snn n 12 1111111 1 32 43 5(2) n SSSn n 11111111 (1) 2324352nn 用心 爱心 专心 11113 (1) 22124nn 25.（2008 湖北）.已知数列 n a和 n b满足： 1 a, 1 2 4,( 1) (321), 3 n nnnn aanban 其中为实数，n为正整数. （）对任意实数，证明数列 n a不是等比数列； （）试判断数列 n b是否为等比数列，并证明你的结论； （）设0ab, n S为数列 n b的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n， 都有 n aSb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想， 考查综合分析问题的能力和推理认证能力， （满分 14 分） （）证明：假设存在一个实数 ，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即 , 094 9 4 94 9 4 )4 9 4 ()3 3 2 ( 222 矛盾. 所以an不是等比数列. ()解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1( 3 2 an-2n+14) = 3 2 (-1)n（an-3n+21）=- 3 2 bn 又b1x-(+18),所以 当 18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列： 当 18 时，b1=(+18) 0,由上可知bn0， 3 2 1 n a b b (nN+). 故当 -18 时，数列bn是以（18）为首项， 3 2 为公比的等比数列. ()由（）知，当 =-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. -18，故知bn= -（+18）（ 3 2 ）n-1，于是可得 Sn=-. 3 2 1 )18( 5 3 n ）（ 要使aSnb对任意正整数n成立， 用心 爱心 专心 即a- 5 3 (+18)1（ 3 2 ）n b(nN+) ，则令 得 ) 2 (1)( ) 3 2 (1 )18( 5 3 ) 3 2 (1 nf ba nn 当n为正奇数时，1f(n), 1)( 9 5 ; 3 5 nfn为正偶数时，当 f(n)的最大值为f(1)= 3 5 ,f(n)的最小值为f(2)= 9 5 , 于是，由式得 9 5 a- 5 3 (+18),.18318 5 3 abb 当a3a存在实数 ，使得对任意正整数n,都有a0，b1=1，且 b3、b7+2、3b9成等比数列 （）求数列an、bn的通项公式； （）设数列cn满足cn= nnb a，求cn的前n项和Tn 解：（I）由已知有 nnn SSS 1 ，即)(2 * 1 N nSS nn ， Sn是以S1=a1=1 为首项，2 为公比的等比数列 Sn= 1 2 n 由 ， ， )2( ) 1( 1 1 nSS nS a nn n 得 ， )2(2 ) 1(1 2 n n a n n 4 分 b3，b7+2，3b9成等比数列， (b7+2)2=b33b9，即 (1+6d+2)2=(1+2d)3(1+8d)， 解得 d=1 或d= 2 1 (舍)， nnbn1) 1(17 分 （II）Tn=a1b1+a2b2+anbn=11+220+321+n 2 2 n ， 设T=220+321+n 2 2 n ， 2T=221+322+n 1 2 n ， 相减得-T=2+21+22+ 2 2 n -n 1 2 n 用心 爱心 专心 1 1 2 21 )21 (1 1 n n n 1 2)1 ( n n， 即T=(n-1) 1 2 n ， Tn=1+(n-1) 1 2 n (nN N*) 12 分 题组三题组三 一、填空题 1 （岳野两校联考）等差数列 n a 中， 2 1 a ，公差 0d ，且 1 a 、 3 a 、 11 a 恰好是某等 比数列的前三项，那么该等比数列的公比为（ ） A2B2 1 C4 1 D4 答案 D 2.（三明市三校联考）在等比数列 n a中，已知16 73 aa，则 64a a的值为 （ ） A16 B24 C48 D128 答案 A 3.（昆明一中一次月考理）已知a n 是公比为q的等比数列，且 231 a,a,a成等差数列. 则q A1 或 1 2 B1 C 1 2 D 2 答案:A 4. (安徽六校联考)若等差数列 n a的前n项和为 n S，且 21012 aaa为确定的常数，则下列 各式中，也为确定的常数是( ) A. 13 S B. 15 S C. 17 S D. 19 S 答案 B 5 （昆明一中四次月考理）等差数列 n a的公差为 2，若 134 ,aaa成等比数列，则 2 a （ ） （A）6 （B）8 （C）8 （D）6 用心 爱心 专心 答案：A 6. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 若 854 ,18Saa则等于（ ） A18 B36 C54 D72 答案 D 7 （玉溪一中期中理）等差数列 n a中，15 54 aa，其前n项和为 n S，且 267 ,15aSS则（ ） A 3 B1 C 0 D 2 答案：C 8.（祥云一中二次月考理）各项均为正数的等比数列 n a的前n项和为 n S，若 ,14, 2 3010 SS则 40 S等于（ ） A.16 B. 26 C. 30 D. 80 答案：C 9.（祥云一中二次月考理）在数列 10011 , 1anaaNxaa nnn 则时，当中， 的值 为 （ ） A. 4950 B 4951 C.5050 D. 5051 答案：B 10.（祥云一中二次月考理）在等差数列 10411 , 3aaaaan且中，成等比数列，则 n a的通项公式为 （ ） A. 12 nan B. 2 nan C.312 nn ana或 D. 2 nan或3 n a 答案：D 二、填空题 11 （安庆市四校元旦联考）对于数列 n a，定义数列 nn aa 1 为数列 n a的 “差数列” ，若2 1 a， n a的“差数列”的通项 用心 爱心 专心 为 n 2，则数列 n a的前n项和 n S= 答案 22 1 n 12 （祥云一中三次月考理）已知数列 n a的通项公式为 ) 1( 1 nn an，数列 n a的前 n项和为 n S,则lin n n S=_ 答案：1 13. （祥云一中三次月考文） 数列an 中， 1 1 1 2,1(2,3,4,) n n aan a =，则 4 a= 答案：2 三、解答题 14. （池州市七校元旦调研）在数列 n a中， 11 11 1,(1) 2 nn n n aaa n , （I）设 n n a b