新3高考2模拟高考数学第五章第二节解三角形

第五章 平面向量、解三角形第二节 解三角形第一部分 三年高考荟萃 2010年高考题一、选择题1.（2010上海文）18.若的三个内角满足，则（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.【答案】C解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C为钝角2.（2010湖南文）7.在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则A.ab B.abC. ab D.a与b的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。3.（2010江西理）7.E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，解得解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得，解得。4.（2010北京文）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）； （B）（C）； （D）【答案】A5.（2010天津理）（7）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A=（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得，所以cosA=，所以A=300【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。6.（2010湖南理）6、在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若C=120，,则A、ab B、ab C、a=b D、a与b的大小关系不能确定7.（2010湖北理）3.在中，a=15,b=10,A=60，则=A B C D 【答案】D【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故D正确.二、填空题1.（2010重庆文）（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等. 设第段弧所对的圆心角为，则_ .解析：又，所以2.（2010山东文）（15） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,则角A的大小为 .答案：3.（2010北京文）（10）在中。若，则a= 。答案：14.（2010北京理）（10）在ABC中，若b = 1，c =，则a = 。答案 15.（2010广东理）11.已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .答案1解析：由A+C=2B及A+ B+ C=180知，B =60由正弦定理知，即由知，则，6.（2010江苏卷）13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则=_。解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：，= 4。（方法二），三、解答题1.（2010陕西文）17.（本小题满分12分）在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.解在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120, ADB=60在ABD中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得,AB=.2.（2010辽宁文）（17）（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，且（）求的大小；（）若，试判断的形状.解：（）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故 （）由（）得又，得因为，故所以是等腰的钝角三角形。3.（2010辽宁理）（17）（本小题满分12分） 在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.解：（）由已知，根据正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，A=120 6分（）由（）得： 故当B=30时，sinB+sinC取得最大值1。 12分4.（2010安徽文）16、（本小题满分12分） 的面积是30，内角所对边长分别为，。 ()求；()若，求的值。【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由得的值，再根据面积公式得；直接求数量积.由余弦定理，代入已知条件，及求a的值.解：由，得.又，.（）.（），.【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求的值，考虑已知的面积是30，所以先求的值，然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.（2010重庆文数）(18).(本小题满分13分), ()小问5分，()小问8分.)设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc .() 求sinA的值；()求的值.5.（2010天津理）（17）（本小题满分12分）已知函数（）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（）若，求的值。【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。（1）解：由，得所以函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1（）解：由（1）可知又因为，所以由，得从而所以6.（2010全国卷1理）(17)(本小题满分10分) 已知的内角，及其对边，满足，求内角7.（2010福建理）19（本小题满分13分）。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，从而值，且最小值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在中，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。（2010安徽理数）16、（本小题满分12分） 设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且。 ()求角的值；()若，求（其中）。8.（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1），同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大。因为，则，所以当时，-最大。故所求的是m。9.（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）已知ABC的三边长都是有理数。（1） 求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。解析 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。（方法一）（1）证明：设三边长分别为，是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，必为有理数，cosA是有理数。（2）当时，显然cosA是有理数；当时，因为cosA是有理数， 也是有理数；假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。当时，解得：cosA，均是有理数，是有理数，是有理数。即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数。（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。假设当时，和都是有理数。当时，由，及和归纳假设，知和都是有理数。即当时，结论成立。综合、可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。2009年高考题1.(2009年广东卷文)已知中，的对边分别为若且，则 ( )A.2 B4 C4 D答案 A解析 由可知,所以,由正弦定理得,故选A2.（2009全国卷文）已知ABC中，则( )A B. C. D. 答案 D解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=知A为钝角，cosA40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QEsin=所以船会进入警戒水域.第二部分 两年模拟题汇编2010年模拟题题组一一， 选择题1（河南信阳市2011届高三第一次调研考试理）已知角的终边过点，且，则的值为（ ）ABCD答案 C.二，填空题1（成都市玉林中学20102011学年度）三边长为，对应角为，已知，则_答案 600，2（湖南岳阳县一中2011届高三文）有下列四个命题，其中真命题有： （ ）“若，则互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若，则有实根”的逆命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；ABC D答案 3. （四川省成都市玉林中学2011届高三理）定义在R上的偶函数满足，且在3，2上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是A. B.C.D.答案 D.4(浙江省桐乡一中2011届高三文)如图所示，O点在ABC内部，D、E分别是AC，BC边的中点，且有，则AEC的面积与AOC的面积的比为（）（A）2（B）（C）3（D）答案 B.5. （浙江省吴兴高级中学2011届高三文）定义运算：，则的值是（ ）（A） （B） （C） （D）答案 D.6 . (河北省唐山一中2011届高三理）已知函数，又为锐角三角形两锐角则（ ）A. B. C. D. 答案 B.7. （四川省成都市玉林中学2011届高三理） ABC-D-答案 C.二 填空题1（江苏泰兴2011届高三文）三边长为，对应角为，已知，则_答案 6002（福建省四地六校联考2011届高三文）在中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若，则c的值为 答案 2 。3(河南信阳市2011届高三理）电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是 。答案 5.三 解答题 1（浙江省桐乡一中2011届高三文）（本小题满分14分）如图，已知ABD是等腰直角三角形，D90，BD。现将ABD沿斜边的中线DC折起，使二面角ADCB为直二面角，E是线段AD的中点，是线段AC上的一个动点（不包括A）（1）确定F的位置，使得平面ABD平面BEF；（2）当直线BD与直线EF所成的角为60时，求证：平面ABD平面BEFCADBDCBAE 答案 1解法一 （1）由已知二面角A-DC-B为直二面角，又， 在中， AC1。以C为原点，分别以CB、CD、CA为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，1）。E为AD中点，。若面ABD面BEF，则AD面BEF，则ADEF，即，设，则，F点坐标为（0，0，0），即F点与C点重合时，平面ABD平面BEF。（2）由（1）知 解得 z0或z1，由F是线段AC上（不包括A、C）的点得z0F点坐标为（0，0，0），即F点与C点重合，ADEF，又BCAD 平面ABD平面BEF 解法二（1）在折后图中，由已知得，又，则BEAD，由平面ABD平面BEF，得AD面BEF，得ADEF，即F应过E的AD边的垂线和AC的交点，由AC=CD知F点即为C点。 （2）取AB的中点为G，连结CG、GE,由已知可得CE=CG=GE, CE与GE成角,即F点与C点重合，在等腰直角三角形ACD中,可证ADCE又BCAD , AD面BCE ,即AD面BEF平面ABD平面BEF 2. （福建省福州八中2011届高三理）（本小题13分）已知函数的部分图象如下图所示：（1）求函数的解析式并写出其所有对称中心；（2）若的图象与的图象关于点 P（4，0）对称，求的单调递增区间答案 2. （本小题14分）解：（1）由图可得。A=，所以，2分则此时，将点代入， 可得.4分； 对称中心为 7分（2）由的图角与的图象关于点 P（4，0）对称，得,9分=,11分令.即单调递增区间为13分3. （河北省唐山一中2011届高三理）在中，点M是BC的中点，的三边长是连续三个正整数，且（I）判断的形状；（II）求的余弦值。答案 3. （I）设则由1分中，由正弦定理得同理得3分5分即当时，与的三边长是连续三个正整数矛盾，是等腰三角形。7分 （II）地直角三角形AMC中，设两直角边分别为由得n=4，9分由余弦定理或二倍角公式得或12分4. （福建省四地六校联考2011届高三理）(本小题满分13分) 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（I）若求证：； （II）若求的值答案 4、解：（I）由题设知2分所以 4分因为所以故 7分（II）因为所以 8分即解得 11分从而 13分5.（福建省福州八中2011届高三理）（本小题13分）若=，且.求（1）；（2）的值答案 5.（本小题13分）解析 将=化简，得2分可求得，5分（1）；8分 （2）10分13分6（河南信阳市2011届高三理）符号表示不超过的最大整数，如，定义函数，设函数在区间上零点的个数记为图象交点的个数记为，则的值是 。答案 .题组二一、选择题:1. （2010年广东省揭阳市高考一模试题文科）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m， ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为A.m B.m C.m D.m 【答案】A【解析】由正弦定理得,选A2（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）内有一点,满足,且则一定是（ D ） A 钝角三角形 B 直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形3(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定是( C )A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形4(四川省成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)以下命题中正确的是（ D ）A恒成立；B在中，若，则是等腰三角形；C对等差数列的前n项和若对任意正整数n都有对任意正整数n恒成立；Da=3是直线与直线平行且不重合的充要条件；二、填空题5（2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题）在中，三边、所对的角分别为、，若，则角的大小为 （或）三、解答题6.（四川省南充高中2010届高三4月月考理科试题）（本小题满分12分） 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积解：（1）由 4cos2C4cosC解得 C60（2）由余弦定理得C2a2b22ab cos C 即 7a2b2ab 又ab5 a2b22ab25 由得ab6 SABC题组三1.（马鞍山学业水平测试）AOB是边长为1的等边三角形，O是原点，轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线的方程是A B C D 答案 B2设点在内部，且，则的面积与的面积之比是A2：1 B3：1 C4：3 D3：2答案：D3. （祥云一中三次月考理）已知边长为1的正三角形中，则的值为A B C D 答案：B4的三内角A，B，C所对边长分别是，设向量，若，则角的大小为_答案 5.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）（1）由“若则”类比“若为三个向量则”（2）在数列中，猜想（3）在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”（4）已知，则.上述四个推理中，得出的结论正确的是_ .（写出所有正确结论的序号）答案（2）（3）6（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）设的内角所对的边分别为且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.解：（1）由得 又 ，又 （2）由正弦定理得：, 故的周长的取值范围为. （2）另解：周长 由（1）及余弦定理 又即的周长的取值范围为. 7（肥城市第二次联考）（本小题满分12分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 5分在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。 12分8.（池州市七校元旦调研）在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,。所以又，即由正弦定理得，故由，解得。题组四一、选择题1、（2009青岛一模）已知点、分别为双曲线：的左焦点、右顶点，点满足，则双曲线的离心率为A B. C D. 答案 D2、（2009上海十四校联考）已知非零向量则ABC的形状是（ ）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰（非等边）三角形D等边三角形答案 D3、（2009枣庄一模）已知的三个内角A，B，C的对边，向量周长的最小值为（ ）ABCD答案 B EDABCD1第4题4、（2009上海奉贤区模拟考）在正方体中，点E在A1C1上，且，则（ ）。（A），（B），（C），（D）.答案 D二、填空题5、（2009深圳一模）已知是的中线，那么 ；若，则的最小值是 答案 1三、解答题6、（2009湛江一模