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数形结合思想在高考中的应用http:/www.DearEDU.com杨新兰 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路。最常用的是以形助数的解题方法，其实质就是对图形性质的研究，使要解决的数的问题转化为形的讨论，实现“由一种代数形式转化为几何形式”的数学化归。 例1. （2005年高考全国卷II）函数，求使的x的取值范围。 解：，也即。 设函数 如图1，由、的图象和，可得。图1 评析：数与形之间存在着密切的联系，很多代数问题若能转化成图形，则思路和方法可以从图形中直观地显示出来。数形结合，简明直观，作出图表，一目了然。 例2. （2005年高考全国卷II题）已知，函数，设f(x)在1，1上是单调函数，求a的取值范围。 解：。由在1，1上是单调函数，知在1，1上有恒成立，或恒成立。 （1）如图2，恒成立时，有三种情况：图2 ； 均无解。 （2）如图3，恒成立时，有图3 。 综上得。 评析：本题融函数、导数、不等式为一体，在网络交汇处设计的试题，通过借助于图形的直观性，以图助算，就可避免烦琐的计算。因此，以数形结合为切入点，可化难为易，让抽象的问题转化得直观明白。 例3. （2004年湖北高考题）如图4，在RtABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。图4 解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图5所示的平面直角坐标系。图5 设|AB|c，|AC|b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b），且|PQ|2a，|BC|a。 设点P的坐标为（x，y），则Q（x，y） 所以，（） 所以 因为 所以 即 故当，即时，最大，其最大值为0。 评析：平面向量具有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量的坐标运算，实际了“形”与“数”的结
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