新课标苏教四类对称问题及其应用

四类对称问题及其应用解析几何第一章内容在高考中单独较少,实际上也只有对称问题在高考中頻頻出现。而对称问题由于解法多,学生难以择其善者而从之,故就显得较难。以下是笔者对四类对称问题的归类及系统分析及其应用。我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。一 点关于点对称如P（a，b）关于点M（x0，y0）的对称点为P1,求P1？ 分析：设P1（x,y）则由中点公式 x0=; y0=可知 x=2x0a; y=2y0b P1（2x0a , 2y0b ）例1 已知点A（1，2），点B(2,3) 求点A关于点B的对称点。解：（方法：利用中点公式）设点A关于点B的对称点为A1（x0，y0）则 2 x03 3 y04 点A关于点B的对称点为A1（3，4）。特例：点（a，b）关于原点的对称点为（a，b）二 点关于直线对称的点例2 求点P(2,0)关于直线2 x4 y10对称点Q的坐标解：（法一利用交点） 过点P(2,0)垂直于2 x4 y10的直线L为4（x2）2（y0）0即4x2y80即2xy40而直线L 与直线2x4y10的交点为M， 即M（，1） 由例1可以求出Q的坐标为（1，2）解：（法二利用斜率）设Q（a，b），则由PQ直线的斜率与直线L的斜率之积为1及P、Q的中点在直线L上可以列出方程组Q（1，2）特例：点（a，b）关于直线xc的对称点为（2ca，b）, 点（a，b）关于直线y=x的对称点为（b，a） 点（a，b）关于直线y=x的对称点为（b，a） 点（a，b）关于直线y=x+c的对称点为（bc，a c）点（a，b）关于直线y=x+c的对称点为（bc，ac）三 直线关于点对称的直线例3 求直线4 x y10关于点M（2，3）对称的直线方程解：（法一利用设元）设直线4 x y10上的点P（x0，y0），则点P（x0，y0）关于点M（2，3）的对称点为Q（x，y）， 则由例 1可知x04x ，y06y 代入直线4 x y10可得164 x6y 10即4 x y210解：（法二利用距离）设所求的直线为4 x ym0,则点M（2，3）到两条直线的距离相等，由于点M（2，3）在两直线的中间1011mm21，即所求的直线为4 x y210解：（法三利用两点式）在直线4 x y10上任找两点A（0，1），B（1，3）关于点M（2，3）的对称点为A1（4，5），B1（3，9）由两点式可得 即所求的直线为4 x y210 四直线关于直线对称的直线例4 求直线2 x y40关于直线 xy10的对称直线方程解：（法一利用设元）设直线4 x y40上的点P（x0，y0），则点P（x0，y0）关于直线xy10对称的点Q（x，y）则xy01，yx01代入直线2 x y40可得2（y1）x140即x2 y50解：（法二利用夹角）由两直线的交点可得交点为所求直线过点（1，2），设其斜率为K（若求不出则说明直线垂直于X轴），又直线2 x y40到直线 xy10的角与直线 xy10到所求直线的角相等即K所求直线为y 2（x 1）即x2 y50解：（法三利用距离）三直线交于一点，设直线系方程为（2xy4）（xy1）0即（2）x（1）y（4）0不妨在对称轴直线 xy10上任取一点（0，1）则 1或0（舍去）所求直线为x2 y50应用：1、（91高考）点P(2,5)关于直线xy0的对称点是（ ）A（5，2） B（2，5） C（5，2） D（2，5）2、（89高考）与直线2x3 y60关于点（1，1）对称的直线是（ ）A 3x2y20 B 2x3 y30 C 3x2y120 D 2x3y803、(90高考)直线ya x2与直线y3 xb 关于yx对称，则a b 4、（92高考）巳知直线L1和L2夹角的平分线为y=x，如果L1的方程是ax+by+c=0.（ab0），那么L2的方程是（）A. bx+ay+c=0B. ax-by+c=0 C. bx+ay-c=0 D. bx-ay+c=05、(97高考