数学等比数列

高考数学复习 等比数列高考要求：1、 理解等比数列的概念，2、 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，3、 并能解决简单的实际问题考点回顾：1定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.2通项公式,推广形式:,变式3前n项和注:应用前n项和公式时,一定要区分的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.4等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且5在等比数列中有如下性质: (1)若(2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列.6证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:若(2)等比中项法:若(3)通项法:若 (4)前n项和法:若7解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题)(2)分类的思想运用等比数列的求和公式时,需要对讨论当 ()考点解析：考点1、关于基本量的计算EG1数列为等比数列,求下列各值,(1)已知(2) (3) 思维分析:运用等比数列的基本公式和基本性质”知三求二”问题解(1)(2) (3)B1-1.设一个等比数列的首项为a(a0),公比为q(q0),其前n项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n项和是6560,求a和q.思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想,解:若q=1,则na=80,2na=160矛盾,于是B1-2、设等比数列的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.答案:B1-2 已知等比数列an中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an.剖析：利用等比数列的基本量a1，q，根据条件求出a1和q.解：设an的公比为q，由题意知解得或an=2n1或an=23n.评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.2.关于等比数列的证明EG2.已知数列,Sn是它的前n项和,且(1)设,求证:数列是等比数列(2)设,求证:数列是等差数列思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n项和Sn已知可求an解:(1) ,由此可得是等比数列且首项(2)可知是首项的等差数列,B2-2、数列的通项公式分别是它们公共项由小到大排列的数列是,写出的前5项 证明是等比数列思维分析:容易证明是等比数列,由定义式,只需找出中任意相邻两项关系即可.解(1) 的前5项为:8、32、128、512、2048（2）设B2-3 已知数列an为等差数列，公差d0，an的部分项组成下列数列：a，a，a，恰为等比数列，其中k11，k25，k317，求k1k2k3kn.剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a，然后列方程求得kn.解：设an的首项为a1，a、a、a成等比数列，（a14d）2a1（a116d）.得a12d，q3.aa1（kn1）d，又aa13n1，kn23n11.k1k2kn2（133n1）n2n3nn1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时要注意：a是等差数列中的第kn项，而是等比数列中的第n项.B2-4 设各项均为正数的数列an和bn满足5，5，5成等比数列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an、bn.剖析：由等比中项、等差中项的性质得an+1=递推出an=（n2）.解：5，5，5成等比数列，（5）2=55，即2bn=an+an+1. 又lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，2lgan+1=lgbn+lgbn+1，即an+12=bnbn+1. 由及ai0，bj0（i、jN*）可得an+1=. an=（n2）. 将代入可得2bn=+（n2），2=+（n2）.数列为等差数列.b1=2，a2=3，a22=b1b2，b2=.=+（n1）（）=（n+1）（n=1也成立）.bn=.an=（n2）.又当n=1时，a1=1也成立.an=.评述：由Sn求an时要注意验证a1与S1是否一致.方法归纳：1涉及等差比数列的基本概念的问题，常用基本量来处理； 2使用等比数列前项和公式时，必须弄清公比是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；3若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似4在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求实战训练1等比数列an中，如果，则a1a9的值为A3B9C3D92在等比数列an中，等于（ ）ABCD3已知是各项均为正数的等比数列，且公比q1，则A=B= 的大小关系是（ ）AABBA0 , anan1=5 (n2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列a13;当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3.8(2006年山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；（3） 记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.(2) ,;9.（06北京卷）设数列an的首项a1=a，且, 记，nl，2，3，（I）求a2，a3；（II）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求解：（I）a2a1+=a+，a3=a2=a+；（II） a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,所以b1=a1=a, b2=a3=(a), b3=a5=(a),猜想：bn是公比为的等比数列 证明如下： 因为bn+1a2n+1=a2n=(a2n1)=bn, (nN*) 所以bn是首项为a, 公比为的等比数列（III）2.（05北京卷）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求 （I）a2，a3，a4的值及数列an的通项公式； （II）的值.解：（I）由a1=1，n=1，2，3，得，由（n2），得（n2），又a2=，所以an=(n2), 数列an的通项公式为；（II）由（I）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列， =11. (全国卷) 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（）求的通项；（）求的前n项和。解：（）由 得 即可得因为，所以 解得，因而 （）因为是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和 前两式相减，得 即 经典回顾1.等比数列an的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为Sn，且Sn=80，S2n=6560，求：（1）前100项之和S100.（2）通项公式an.解：设公比为q，S2nSn=6480Sn，q1.则最大项是an=a1qn1（an0）. 又Sn=80， S2n=6560， 由解得a1=2，q=3，则（1）前100项之和S100=31001.（2）通项公式为an=23n1.2.数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1=a1，bn=anan1（n2），若an+Sn=n.（1）设cn=an1，求证：数列cn是等比数列；（2）求数列bn的通项公式.（1）证明：a1=S1，an+Sn=n，a1+S1=1，得a1=.又an+1+Sn+1=n+1，两式相减得2（an+11）=an1，即=，也即=，故数列cn是等比数列.（2）解：c1=a11=，cn=，an=cn+1=1，an1=1.故当n2时，bn=anan1=.又b1=a1=，即bn=（nN*）.3.设数列an、bn（bn0，n*），满足an（n*），证明：an为等差数列的充要条件是bn为等比数列.证明：充分性：若bn为等比数列，设公比为q，则anlgb1（n1）lgq，an1anlgq为常数，an为等差数列.必要性：由an得nanlgb1lgb2lgbn，（n1）an1lgb1lgb2lgbn1，n（an1an）an1lgbn1.若an为等差数列，设公差为d，则nda1ndlgbn1，bn110，bn10.102d为常数.bn为等比数列.4.设数列an，a1，若以a1，a2，an为系数的二次方程：an1x2anx10（n*且n2）都有根、满足331.（1）求证:an为等比数列；（2）求an；（3）求an的前n项和Sn.（1）证明：，代入331得anan1，为定值.数列an是等比数列.（2）解：a1，an（）n1（）n.an（）n.5.已知数列an中，a1=，a2=并且数列log2（a2），log2（a3），log2（an+1）是公差为1的等差数列，而a2，a3，an+1是公比为的等比数列，求数列an的通项公式.分析：由数列log2（an+1）为等差数列及等差数列的通项公式，可求出an+1与an的一个递推关系式；由数列an+1为等比数列及等比数列的通项公式，可求出an+1与an的另一个递推关系式.解两个关系式的方程组，即可求出an.解：数列log