全国高中数学联合竞赛一试及A卷

2008年全国高中数学竞赛试题参考答案和评分标准(卷一)描述：1.批改试卷时，请遵循这个评分标准。选择题只有6分零分，填空题只有9分零分。对于其他问题，请严格按照本评分标准的评分标准进行评分，不要添加其他中间等级。2.如果考生的回答方法与此不同，只要思路合理，步骤正确，评分标准可以作为评分的参考。五个答案被分为一个等级，没有添加其他中间等级。一、选择题(该题满分为36分，每题6分)1.该函数的最小值为(c)A.0 B.1 C.2 D.3因此，当时当且仅当上述方程取等号且该方程有解时，因此，表中的最小值为2。2.设，如果，实数的取值范围是(d)A.学士学位因为有两个真正的根源，因此，它等价于和，也就是说，得到了解。3.当甲、乙双方进行乒乓球比赛时，双方同意每场比赛的胜者得1分，败者得0分，当一方比另一方多得2分或打了6场比赛时，比赛停止。假设在每场比赛中a获胜的概率是，b在每场比赛中获胜的概率是，并且每场比赛中的赢和输是相互独立的，那么当比赛停止时所玩游戏的数量的期望值是(b)A.学士学位解答1根据问题的含义，所有可能的值都是2，4，6。假设每两轮是一轮，那么在该轮结束时停止比赛的概率是。如果比赛在回合结束时继续，那么a和b将在回合中各得一分。此时，这一轮的结果将不会影响下一轮比赛是否会停止。因此，将会有，,因此。解答2根据问题的含义，所有可能的值都是2，4，6。顺序意味着a在第一场比赛中获胜，然后b在第一场比赛中获胜。由于独立和不相容，,因此。4.如果边都是整数(单位：cm)的立方体的表面积之和是564 cm2，则三个立方体的体积之和是(a)764立方厘米或586立方厘米C.586c3或564 cm3 D.586 cm3解如果这三个立方体的边的长度分别是，那么就有，你也可以设置它，这样，就只能取9，8，7，6。如果，那么，很容易知道，并得到一套解决方案。如果，那么，但是，因此或5。如果，那么就没有解决方案，如果，那么就没有解决方案。此时没有解决办法。如果是这样，只有一个解决办法，如果，那么，在这个时候，因此，但是，因此，在这个时候没有解决办法。总而言之，有两组解决方案或体积为cm3或cm3。5.方程的有理数解的个数是(b)a1 b . 2 c . 3d . 4解决方案如果，那么解决方案是或如果是这样的话，那就取决于。(2)将代入。从(1)，替换成(3)来简化。很容易知道没有有理数，因此，有两组有理数解或方程，即从、从和矛盾6.如果内角设置到的边是几何级数，则值范围为(c)美国广播公司解决方案设定公共比率，然后。因此，只需要所需的值范围。由于最大的边只能是或才能形成一个几何级数，所以形成三角形的三条边是必要的，也就是说，存在一组不等式。也就是说，我能理解。因此，所需的值范围是。二、填空(题目满分54分，每题9分)7.假设，实数在哪里，如果，那么是5。从问题的意义来看，结果是。8.然后，将最小值设置为。解决方案，(1)、然后取最小值；(2)然后取最小值1；(3)然后取最小值。或者，的最小值不能是，因此，我们可以理解(放弃)。9.如果将24个志愿者名额分配给3所学校，那么每所学校将至少有一个名额，并且有222种不同的分配方法。解答1用4根棍子之间的空间代表3所学校，用来代表地方。例如这意味着第一、第二和第三学校分别有4、18和2个名额。如果将每个“”和每个“”视为一个位置，由于左右两端必须是“|”，不同的分配方法相当于一个“占位符”，其中两个“|”占据每个位置(不包括两端)。“每个学校至少有一个配额”相当于从24英寸之间的23个间隙中选择2个，并插入“|”。因此，有一个物种。在“每所学校至少有一个名额的分配方法”中，有31种“至少有两所学校有相同的名额”的分配方法总而言之，有253-31=222种分配方法符合条件。解答2如果分配给三所学校的学额数分别是，那么每所学校至少有一个学额的除法数是一个不定方程。的正整数解的数目，即方程的非负整数解的数目，它等于3个不同元素中的21个的重组：在“每所学校至少有一个名额的分配方法”中，有31种“至少有两所学校有相同的名额”的分配方法总而言之，有253-31=222种分配方法符合条件。10.设置要满足的数字序列的上一段的总和：一般术语=。解决方案，也就是说，2=，结果是2。订单，()，是的，因此，所以。11.假设它是一个函数，定义在，如果，和任何，满足，然后=。解决方案1通过设定条件了解,因此，有，因此。解决方案二订单，然后,也就是说，因此，它必须是周期为2的周期函数，所以。12.半径为1的球体可以在一个具有内壁边长的正四面体容器中自由地向各个方向移动，那么球体永远不会接触到的容器内壁区域就是。答案12图1解决方案如答案12的图1所示，考虑球以一个角度被挤压的情况，记住球的半径是一个平面/平面，在一个点与球相切，那么球的中心是正四面体的中心，垂直的脚是中心。因为,因此，因此。记住球和面之间的切点是，连接，然后。考虑球体的相位和正四面体的一个表面(可以认为)切割时，很容易知道球最靠近表面的边缘。切点的轨迹仍然是一个正三角形，记录为12图2。记录正四面体树的边缘太长了。答案12图2因为，有,因此，小三角形的边长。球表面不能触及的部分。对于(如图2中阴影所示的答案12)。所以。由于对称性和正四面体有4条边，球不能接触的容器内壁的面积为。三、回答问题(题目满分60分，每题20分)13.已知函数和直线的图像只有三个交点，交点横坐标的最大值是为了验证：答案13。图像和直线的三个交点在图13中示出，并且彼此相切。切点是。5分由于，所以，即.10分因此15分.20分。14.解决不平等。解1乘及以上是增函数，所以原来的不等式等价于。那是。 5分群体分解，10分所以，15分所以即使。因此，原不等式的解集是。解2乘及以上是增函数，所以原来的不等式等于0.5分也就是说，10分不平等是，显然，上面是递增函数，所以上面的不等式等价于，15分也就是说，理解(放弃)，因此，原不等式的解集是。15.如问题15中的图所示，它是抛物线上的移动点，该点在轴上，圆被内接在