普通高等学校招生全国统一考试数学文科卷四川卷

2006年普通高等学校招生全国统一考试数学文科卷(四川卷)本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至2页。第卷3到8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；题号123456789101112答案CADABDBCDBAC（1）已知集合，集合，则集合（A） （B） （C） （D）（2）函数的反函数是（A） （B） （C） （D） （3）曲线在点处的切线方程是（A） （B） （C） （D）（4）如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（A） （B） （C） （D）（5）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生（A）人，人，人 （B）人，人，人 （C）人，人，人 （D）人，人，人 （6）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（A） （B） （C） （D）(7) 已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为（A） （B） （C） （D）(8) 已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（A） （B） （C） （D）(9) 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（A） （B） （C） （D）(10) 直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为（A） （B） （C） （D）（11）设分别是的三个内角所对的边，则是的（A）充分条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件（12）从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除的概率为（A） （B） （C） （D）第卷二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。（13）展开式中的系数为_（用数字作答）（14）设满足约束条件：，则的最小值为_;（15）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_;（16）是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： 其中真命题的编号是_，_;（写出所有真命题的编号）三解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本大题满分12分）数列的前项和记为（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。解：（）由可得，两式相减得又 故是首项为，公比为得等比数列 （）设的公比为由得，可得，可得故可设又由题意可得解得等差数列的各项为正，（18）（本大题满分12分）已知是三角形三内角，向量，且（）求角；（）若，求本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。解：（） 即（）由题知，整理得 或而使，舍去（19）（本大题满分12分） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响（）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。解：记“甲理论考核合格”为事件，“乙理论考核合格”为事件，“丙理论考核合格”为事件， 记为的对立事件，；记“甲实验考核合格”为事件，“乙实验考核合格”为事件，“丙实验考核合格”为事件，（）记“理论考核中至少有两人合格”为事件，记为的对立事件解法1： 解法2：所以，理论考核中至少有两人合格的概率为（）记“三人该课程考核都合格” 为事件 所以，这三人该课程考核都合格的概率为（20）（本大题满分12分）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，（）求证：面；（）求二面角的大小。本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。满分12分解法一： （）证明：取的中点，连结 分别为的中点 面，面 面面 面（）设为的中点为的中点 面作，交于，连结，则由三垂线定理得从而为二面角的平面角。在中，从而在中，故：二面角的大小为方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则 分别是的中点（） 取，显然面 ，又面面过作，交于，取的中点，则设，则又由，及在直线上，可得:解得 即与所夹的角等于二面角的大小故：二面角的大小为（21）（本大题满分12分） 已知函数，其中是的导函数（）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运输能力和综合应用数学知识的能力。满分12分。解：（）由题意 令，对，恒有，即 即解得故时，对满足的一切的值，都有（）当时，的图象与直线只有一个公共点当时，列表： 极大极小又的值域是，且在上单调递增当时函数的图象与直线只有一个公共点。当时，恒有由题意得即解得综上，的取值范围是（22）（本大题满分14分） 已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点（）求的取值范围；（）如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。解：（）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知 故曲线的方程为 设，由