普通高等学校招生统一考试数学文史类福建卷

2007年普通高等学校招生统一考试数学文史类(福建卷)第I卷 （选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A2,3,4,B=1,2,则（CU）等于A.2B.5C.3,4D.2,3,4,5(2)等比数列an中，a4=4,则a2a6等于A.4B.8C.16D.32(3)sin15+cos75+cos15sin105等于A.0B.C.D.1（4）“|x|2”是“x2-x-60时f(x)0,g (x) 0,则x0,g(x)0B.f (x)0,g(x)0C.f (x)0,g(x)0D.f (x)0,g(x)0).(I)求f (x)的最小值h(t);(II)若h(t)-2t+m对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.（21）（本小题满分12分）数列an的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn (nN*).(I)求数列an的通项an;(II)求数列nan的前n项和T.(22)（本小题满分14分）如图，已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且（I）求动点P的轨迹C的方程;（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.（1）已知的值;(2)求|的最小值.参考答案http:/www.DearEDU.com一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分.（1）C（2）C(3)D（4）A（5）A（6）B（7）D(8)B（9）D（10）B（11）B（12）C二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.（13）15 （14）-5,7(15)(16)答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力.满分12分.解：（I）C-(A+B),tanC=-tan(A+B)= 又0C,C=(II)由且A（0，），得sinA=BCAB.（18）本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力.满分12分.解:记“甲第i次试跳成功”为事件A1，“乙第i次试跳成功”为事件B1.依题意得P（A1）0.7，P（B1）0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互独立.(I)“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立，P（A3）P（）P==0.063.答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(II)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C，解法一：CA1彼此互斥，P（C） 0.70.4+0.30.6+0.70.6=0.88.解法二：P（C）1-1-0.30.4=0.88.答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.（III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0,1,2）,“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0,1,2),事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1为互斥事件.所求的概率为2+0.720.60.4=0.0672+0.2352=0.3024.答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.(19)本小题主要考查直线与平面的位置关系，三面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：（I）取BC中点O，连结AO.ABC为正三角形，AOBC.正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1,AO平面BCC1B1,连结B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点，B1OBD,AB1BD.在正方形ABB1A1中，AB1A1B，AB1平面A1BD.(II)设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GFA1D于F，连结AF，由（I）得AB1平面A1BD，AFG为二面A-A1B-B的平面角.在AA1D中，由等面积法可求得AF，又AG=,sinAFG=,所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin.解法二：（I）取BC中点O，连结AO.ABC为正三角形，AOBC.正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1.取B1C1中点O1，以a为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1,0,0）,D (-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),AB1平面A1BD.(II)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z).n, 令z=1得a=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.由（I）知AB1A1BD.为平面A1BD的法向量.cos=-.二面角A-A1D-B的大小为arccos.(20)本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.满分12分.解：（I） （），当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：T(0,1)1(1,2)g(t)+0-g(t)递增极大值1-m递减g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-mh(t)-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)0在（0，2）内恒成立，即等价于1-m1(21)本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分12分.解：（I）an+1=2Sn,Sn+1-Sn=2Sn,=3.又S1a1=1,数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(nN*).当n2时，an-2Sn-1=23n-2(n2),an=(II)Tn=a1+2a2+3a3+nan.当n=1时，T1=1;当n2时，Tn=1+430+631+2n3 n-2,3Tn=3+431+632+2n3n-1,-得：-2Tn=-2+4+2(31+32+3n-2)-2n3 n-1=2+2=-1+(1-2n)3n-1Tn=+(n-)3n-1 (n2).又Tn=a1=1也满足上式，Tn=+(n-)3n-1(nN*)(22)本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由得：(x+1,0)(2,-y)=(x-1,y)(-2,y),化简得C：y2=4x.(II)（1）设直线AB的方程为：x=my+1(m0).设A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.联立方程组,消去x得：y2-4my-4=0, =(-4m)2+120,由得：，整理得：,=-2-=0.解法二：（I）由，=0,所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.(II)(1)由已知则：过点A、B分别作准l的