最新命题大全数学解析分项08立体几何文

用心 爱心 专心1 20122012 最新命题题库大全最新命题题库大全 2008-20112008-2011 年高考试题解析数学（文科）分年高考试题解析数学（文科）分 项项 0808 立体几何立体几何 20112011 年高考试题年高考试题 一、选择题一、选择题: : 1.(2011(2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 8)8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80 【答案】C 【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法. 【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为 2，下底 为 4，高为 4，两底面积和为，四个侧面的面积为 1 224424 2 ，所以几何体的表面积为.故选 C. 4 422 17248 17488 17 【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。 2 2(2011(2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 9)9)如图如图 1-31-3，某几何体的正视图（主视图），某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图），侧视图（左视图） 和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ） A A B B C C D D 2 2 4 342 3 【答案答案】C】C 【解析解析】由题得该几何体是如图所示的四棱锥由题得该几何体是如图所示的四棱锥 P-ABCDP-ABCD， ，棱锥的高，323232 2 1 3 1 3312332312 2 2 VPOhAO 所以选择所以选择 C.C. 用心 爱心 专心2 3 （20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 4)4)设图是某几何体的三视图，则该几 何体的体积为 A942 3618 9 12 2 9 18 2 答案：D 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体 积 3 439 +3 3 2=18 322 V （）。 4 （20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 7)7)设球的体积为 V1,它的内接正方体的 体积为 V2，下列说法中最合适的是 A. V1比 V2大约多一半B. V1比 V2大约多两倍半 C. V1比 V2大约多一倍D. V1比 V2大约多一倍半 答案：D 解析：设球半径为 R，其内接正方体棱长为 a，则，即由 222 2aaaR 2 3 , 3 aR ，比较可得应选 D. 333 12 48 ,3 39 vR vaR 5.（20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 11)11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题： 存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如 下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是 3 3 2 正视图侧视图 俯视图 图 1 用心 爱心 专心3 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A 【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以. 6.6.（20112011 年高考海南卷文科第年高考海南卷文科第 8 8 题）题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图， 则相应的侧视图可以为（ ） 解析：D. 由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前 面是三棱锥的组合体，所以，左视图是 D。 点评：本题考查三视图、直观图及他们之间的互化，同时也考查空间想 象能力和推理能力，要求有扎实的基础知识和基本技能。 7.（20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 4)4)若直线 不平行于平面，且，则lala (A) 内的所有直线与 异面 (B) 内不存在与 平行的alal 直线 (C) 内存在唯一的直线与 平行 (D) 内的直线与 都相交alal A B C D 第 8 题图 用心 爱心 专心4 【答案】 B 【解析】：直线 不平行于平面 ，所以 与相交，故选 Blalala 8 （20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 5)5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （A） （B） 2 8 3 8 3 （C） （D）82 2 3 【答案】A 答案： C 解析：取 SC 的中点 D,则 D 为球心，则 AD=BD=DS=2。因为ASC=BSC=45，所以 SDB=SDA=900，即 ADSC,BDSC,ABD 是等边三角形，故棱锥 S-ABC 的体积等于棱锥 S-ABD 和棱锥 C-ABD 的体积和，即。 2 134 3 24 343 用心 爱心 专心5 S D C B A 11.（20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 8)8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它2 3 的三视图中的俯视图如右图所示左视图是一个矩形则这个矩形的面积是 (A)4 (B) (c)2 (D) 2 33 答案：B 解析：设正三棱柱的侧棱长和底面边长为 a，则由，解得 a=2，正三棱 2 3 2 3 4 aa 柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同，故该矩形的面积是。 3 2 22 3 2 12.（20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 8)8)已知直二面角，点为垂足，l ,AACl C 为垂足，若则到平面的距离等于,BBDl D2,1,ABACBDDABC （A） （B） （C） （D） 2 3 3 3 6 3 1 【答案】C 【解析】如图，作于，由为直二面角，DEBCEl ，得平面，进而,又,AClAC ACDEBCDEBCACC 于是平面。故为到平面的距离。DE ABCDEDABC l A B CD E 用心 爱心 专心6 在中，利用等面积法得Rt BCD 126 . 33 BDDC DE BC 13.（20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 12)12)已知平面截一球面得圆 M，过圆心 M 且与成，二 0 60 面角的平面截该球面得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为 (A) (B) (c) (D)791113 解：由圆的面积为得，M42MA 222 4212OM ，在2 3OM 0 30Rt ONMOMNA中, 故选 D 2 1 3,313 2 ONOM 2 r= 413 N S 圆 14.（20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 9)9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何 体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ） 【答案】D 【解析】左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案. 15. （20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 6)6) 1 l， 2 l， 3 l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （A） 1223 ,ll ll 1 l/ 2 l （B） 12 ll, 1 l/ 3 l 13 ll （C） 1 l/ 2 l/ 3 l 1 l， 2 l， 3 l共面 （D） 1 l， 2 l， 3 l共点 1 l， 2 l， 3 l共面 答案：B 解析：若则有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故 A 不对.虽然 1223 ,ll ll 13 ,l l ，或共点，但是可能共面，也可能不共面，故 C、D 也不正确. 123 / / /lll 123 , ,l l l 123 , ,l l l 16 （20112011 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 10)10)高为2的四棱锥SABCD的底面是边长为 1 的正方形， 点S、A、B、C、D均在半径为 1 的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点 S之间的距离为 A 10 2 B 23 2 C 3 2 D2 60 B A O N M 用心 爱心 专心7 【答案】A 二、填空题：二、填空题： 16.16. （20112011 年高考海南卷文科年高考海南卷文科 16)16)已知两个圆锥有公共底面已知两个圆锥有公共底面, ,且两圆锥的顶点和底面的圆周且两圆锥的顶点和底面的圆周 都在同一个球面上都在同一个球面上. .若圆锥底面面积是这个球面面积的若圆锥底面面积是这个球面面积的, ,则这两个圆锥中则这两个圆锥中, ,体积较小者的体积较小者的 3 16 高与体积较大者的高的比值为高与体积较大者的高的比值为 . . 【答案】 1 3 【解析】设圆锥的底面半径为,球半径为,则,解得,所以对rR 22 3 4 16 rR 3 2 rR 应球心距为,故小圆锥的高为,大圆锥的高为,所以之比为. 1 2 R 11 22 RRR 3 2 R 1 3 17. （20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 15)15)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。 ，点 E 为AD的中 点，点 F 在CD上，若 EF平面 AB1C，则线段EF的长度等于_. 【答案】2 【解析】由于在正方体中,AB=2,所以 AC=.又 E 为 AD 中 1111 ABCDABC D2 2 点, EF平面 AB1C， EF平面 ADC,平面 ADC平面 AB1C=AC,所以 EFAC,所以 F 为 DC 中点,所以 EF= =. 1 2 AC2 18. （20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 15)15)如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积 最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差是 . 答案：32 用心 爱心 专心8 19.（20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 15)15)已知正方体中，E 为的中点，则 1111 ABCDABC D 11 C D 异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值为 【答案】 2 3 【解析】取的中点，为所求角，设棱长为 2，则 11 ABFAEF ，3,5,2AEAFEF 222 2 cos. 23 AEEFAF AEF AEEF 20.20. (2011(2011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 10)10)一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示 ( (单位单位:m),:m),则该几何体的体积为则该几何体的体积为 . . 3 m 【答案】4 【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成 的,容易求得体积为 4. 三、解答题：三、解答题： 21. （20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 19)19)（本小题满分 12 分） 如图，在四棱台中， 1111 ABCDABC D 平面，底面是平行四 1 D D ABCDABCD 边形， ，60. AB=2AD 11 AD=A BBAD= （）证明：； 1 AABD 用心 爱心 专心9 （）证明：. 11 CCA BD平面 【解析】 （）证明：因为，所以设AB=2AD AD=a,则 AB=2a,又因为60,所以在中,由余弦定理得：BAD=ABD ,所以 BD=,所以,故 2222 (2 )22cos603BDaaaaa 3a 222 ADBDAB BDAD,又因为 平面，所以BD,又因为, 所以平面 ,1 D D ABCD 1 D D 1 ADD DDBD 11 ADD A 故 . 1 AABD 理计算得 A1C1=，所以 A1C1OC 且 A1C1=OC，故四边 7 2 a 形 OCC1A1是平行四边形，所以 CC1A1O，又 CC1平面 A1BD，A1O平面 A1BD，所以. 11 CCA BD平面 22 （20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 19)19)（本题满分 12 分） 如图 3，在圆锥PO中，已知2,POOA的直径 A 2,ABCABDAC 点在上, 且C AB=30为的中点 （I）证明：;ACPOD 平面 （II）求直线和平面PAC所成角的正弦值 解析：（I）因为 ,OAOC DAC是的中点, 所以ACO D . 又,.POO ACOACODAA底面底面所以 PO是平面POD内的两条相交直线，所以;ACPOD 平面 用心 爱心 专心10 （II）由（I）知，,ACPOD 平面又,ACPAC 平面所以平面 ,PODPAC 平面在平面POD中，过O作OHPD于H ,则,OHPAC 平面连结 CH，则CH是OCPAC在平面上的射影，所以OCH是直线OC和平面PAC所成的 角 在 22 1 2 2 2 , 31 2 4 PO OD Rt PODOH POOD A A中 在 2 ,sin 3 OH Rt OHCOCH OC A中 23.23. (2011(2011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 17)17)（本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 如图如图, ,在四棱锥在四棱锥 P-ABCDP-ABCD 中中, ,底面底面 ABCDABCD 为平行四边形为平行四边形, ,AD=AC=1,O,AD=AC=1,O 为为 ACAC 的中点的中点, ,45ADC POPO平面平面 ABCD,PO=2,ABCD,PO=2,为为 PDPD 的中点的中点. .M ()()证明证明 PBPB平面平面; ;ACM ()()证明证明 ADAD平面平面 PAC;PAC; ()()求直线求直线与平面与平面 ABCDABCD 所成角的正切值所成角的正切值. .AM 【解析】()证明:连接 BD,MO.在平行四边形 ABCD 中,因 为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点,又 M 为 PD 的中点, 所以 PBMO,因为 PB平面,平面,ACMMO ACM 所以 PB平面.ACM ()证明:因为,AD=AC=1,所以 ADAC,又45ADC 用心 爱心 专心11 PO平面 ABCD,AD平面 ABCD,所以 POAD,而 ,所以 AD平面 PAC.ACPOO ()取 DO 点 N,连接 MN,AN,因为 M 为 PD 的中点,所以 MNPO,且 MN=PO=1,由 PO平面 1 2 ABCD,得 MN平面 ABCD,所以是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角.在中,AD=1,AO=,所MANRt DAO 1 2 以 ,从而.在中, , 5 4 DO 15 24 ANDORt ANM 1 tan 5 4 MN MAN AN 4 5 5 即直线与平面 ABCD 所成角的正切值为.AM 4 5 5 【命题意图命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等 基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 24. （20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 18)18) (本小题满分 12 分） 如图，在交 AC 于 =2, 2 ABCBABBCPAB 中，为边上一动点，PD / / BC 点 D,现将 ,PDA.PDAPDPDAPBCD沿翻折至使平面平面 （1）当棱锥的体积最大时，求 PA 的长； APBCD （2）若点 P 为 AB 的中点，E 为 .ACBDE的中点，求证：A 【解析】 （1）设，则xPA )2( 3 1 3 1 2 x x xSPAV PDCBPBCDA 于于- 令,则 )0( , 63 2 ) 2 2( 3 1 )( 32 x xxx xxf 23 2 )( 2 x xf x ) 3 32 , 0( 3 32 ), 3 32 ( )(x f 0 )(xf 单调递增极大值单调递减 用心 爱心 专心12 由上表易知：当时，有取最大值. 3 32 xPA PBCDA V - (2)证明：作得中点 F，连接 EF、FP,由已知得：,B A FPEDPDBCEF/ 2 1 / 为等腰直角三角形，,所以.PB A PFBADEBA 25. （20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 20)20)（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点 E 在线段AD上，且CEAB。 （1）求证：CE平面PAD； （11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱锥P-ABCD的2 体积 【解析】(1)证明:因为 PA平面 ABCD,CE平面 ABCD,所以 PACE, 因为 ABAD,CEAB,所以 CEAD,又 PAAD=A,所以 CE平面PAD. (2)解:由(1)可知 CEAD,在直角三角形 ECD 中,DE=CD,CE=CD.cos451 sin451 又因为 AB=CE=1,ABCE,所以四边形 ABCE 为矩形,所以 =,又 PA平面 ABCD,PA=1, ABCDABCEBCD SSS 1 2 AB AECE DE 15 1 21 1 22 所以四棱锥P-ABCD的体积等于. 1155 1 3326 ABCD SPA 【命题立意】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、几何体的体积等基础知 识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化 思想. 26. （20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 19)19)（本小题共 12 分） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=A A1=1，延长 A1C1至点P,使 C1P= A1C1，连结 AP 交棱 C C1于点 D. （）求证：P B1BDA1; ()求二面角 A- A1D-B 的平面角的余弦值. 用心 爱心 专心13 27 （20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 16)16)（本小题满分 12 分）如图，在ABC 中，ABC=45， BAC=90，AD，沿 AD 把是 BC 上的ABD 折起，BC是上的高 使BDC=90。 （）证明：平面 ；AD BBDC 平面 （ ）设 BD=1，求三棱锥 D的表面积。ABC 解（）折起前是边上的高， 当折起后，AD，AD，又ADBCAAD BDCD BD B ，DCD AD，AD平面. 平面 BDC 平面AD BAD BBDC 平面 （）由（）知，,ADDBDBDCDCDA DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=,2 ， 11 1 1 22 DAMDBCDCA SSS AAA 13 22sin60 22 ABC S A 三棱锥表面积： 1333 3 222 S 28. （20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 18)18)如图，已知正三棱柱的底面边长为 2，侧棱 111 ABCABC 用心 爱心 专心14 长为，点 E 在侧棱上，点 F 在侧棱上，且.3 2 1 AA 1 BB2 2,2AEBE ()求证： 1 CFC ()求二面角的大小. 1 EECFC 本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和 推理论证能力. 解析：（1）由已知可得 22 11 3 2,2(2 2)2 3.CCCEC F 32222 1 () ,2( 2)6.EFABAEBFEFC E 于是有 222222 1111 ,.EFC EC FCEC ECC 所以 11 ,.C EFE C ECE 又所以平面 CEF.EFCEE 1 C E 由CEF，故 CFCF 1 .C E （2）在CEF 中，由（1）可得6,2 3EFCFCE 于是有所以 CFEF. 222, EFCFCE 又由（1）知，且，所以 CF平面 C1EF. 1 CFC E 1 EFC EE 又平面 C1EF，故 CFC1F. 1 C F 于是EFC1即为二面角 E-CF-C1的平面角. 由（1）知CEF 是等腰直角三角形，所以EFC1=450，即所求二面角 E-CF- C1的大小为 450. 2929(2011(2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 18)18)（本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 如图所示，将高为如图所示，将高为 2 2，底面半径为，底面半径为 1 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向 用心 爱心 专心15 右平移到的右平移到的分别为分别为的中点，的中点，分别为分别为 , ,A A B B AAAA ,CD C D DE D E 1122 0 ,0 ,0 ,0 的中点的中点 ,CD C D DE D E （1 1）证明：证明：四点共面；四点共面； 12 0 ,0 ,AB （2 2）设设为为中点，延长中点，延长到到, , G AA 1 0 A H 使得使得, ,证明证明: : 11 00HA 2 0 B 面HBG 【解析解析】 1 22 1111111 2222 111111111111 2121 11 12 11111111111111 222 11 ,. ,| ,| , (2) ,= B O O B BDED EO BB OO B B O AC DB BDED EB OO AO B O A OA O B H BBBH BO BH BO B BH BO B AOFAOO 2 证明：(1）连接O 分别是弧弧的中点，是平行四边形 是弧的中点分别是弧弧的中点 四点共面。 由题得平面 延长到使 1111 111 11111111110 11 111111111111 111 1111011110 111 110111111111 112122 ,. 90 9090 90| FH F O F O FH FO H OA GH FA HGA HO H F GA HO H FH O FA GHH FOA H G H O FH FOH O FA H G H OOO FH GO B O FO BH GO BH GB 连接和相交于点 平面 30. （20112011 年高考全国新课标卷文科年高考全国新课标卷文科 18)18)（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，60DAB ，ABCDPDADAB底面,2 （1）证明：;BDPA (2) 设求三棱锥 D-PBC 锥的高.，1 ADPD 分析：利用垂直的判定与性质证明并计算。 解：(1)证明：在三角形 ABD 中，因为 ADABBAD2,60 该三角形为直角三角形，所以 E a 2a B DC A p 用心 爱心 专心16 ,DADPDBDPDPADPDADBD且平面, PABDPADPDPADBD平面平面, 31.（20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 20)20)（本题满分 14 分）如图，在三棱锥中，PABC ，为的中点，平面，垂足落在线段上.ABACDBCPOABCOAD （）证明：；（）已知，APBC8BC ，.求二面角的大小.4PO 3AO 2OD BAPC 【解析】：（）,ABAC DBCADBC为中点, ,POABC 平面BCPA （）在平面内作得平面PAB,BMAPM于连结C M ,PBCA,P A ，所以，BMCP AC M ,BMCBAPC则为二面角的平面角 在中，得Rt ADBA 222 41ABADBD41AB 在中，Rt PODA 222 PDPOOD 在中，Rt PDBA 222 PBPDBD 所以得， 2222 36PBPOODBD6PB 在中，得Rt POAA 222 25PAAOOP5PA 又从而故 222 1 cos 23 PAPBAB BPA PA PB 2 2 sin 3 BPA sin4 2BMPBBPA 用心 爱心 专心17 同理，因为所以即二面角的大4 2CM 222 BMCMBC90BMC BAPC 小为90 32.(2011(2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 16)16)如图，在四棱锥中，平面 PAD平面ABCDP ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F 分别是 AP、AD 的中点.求证：（1）直线 EF平面 PCD；（2）平面 BEF平面 PAD 【解析】证明: （1）因为 E、F 分别是 AP、AD 的中点, 所以 EFPD,又因为 EF平面 PCD,PD平面 PCD, 所以直线 EF平面 PCD； （2）设 AB=AD=,则 AF=,又因为BAD=60，2aa 所以在中,由余弦定理得：BF=，ABF3a 所以，所以 BFAF， 2222 4AFBFaAB 因为平面 PAD平面 ABCD，交线为 AD，平面 ABCD，所以 BF平面 PAD，因为BF 平面 BEF，BF 所以平面 BEF平面 PAD. 33. (2011(2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 22)22)（本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 如图，在正四棱柱如图，在正四棱柱中，中，点，点是是的中点，点的中点，点 1111 ABCDABC D 1 2,1AAABNBC 在在上，设二面角上，设二面角的大小为的大小为。M 1 CC 1 ADNM （1 1）当）当时，求时，求的长；的长； 0 90AM （2 2）当）当时，求时，求的长。的长。 6 cos 6 CM 解析：考察空间向量基本概念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算 能力， （1）是中档题， （2）是较难题。 以 D 为原点，DA 为 x 轴正半轴，DC 为 y 轴正半轴，DD1为 z 轴正半轴， 建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，设 M(0，1,z), 1 2 面 MDN 的法向量， 1111 ( ,)nx y z 1 1 (1,0,2),( ,1,0),(0,1, ) 2 DADNDMz F E A C D B P 22第题图 用心 爱心 专心18 设面 A1DN 的法向量为，则 000 (,)nxyz 00 1 00 20 0,0, 1 0 2 xz DA nDNn xy 取即 000 2,1,1,xyz 则(2, 1, 1)n (1)由题意：取 11 11111 111 1 0 2 0,0,00 20 xy DNnDMnnnyzz xyz 111 1 2,1,5,; 5 xyzz 则 222 151 (1 0)(0 1)(0) 55 AM （2）由题意：即取 1 11 1 6 0,0, 6 nn DNnDMn n n 11 11 2 1111 11 1 1 0 2 0 34420 xy yzz xx yx zy z 111 1 2,1,2,; 2 xyzz 则 1 . 2 CM 34.（20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 18)18)（本小题满分 12 分） 如图，四边形 ABCD 为正方形，QA平面 ABCD，PDQA，QA=AB=PD。 1 2 （I）证明：PQ平面 DCQ； （II）求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值。 解析：（I）由条件知，PDAQ 是直角梯形， 因为 AQ平面 ABCD,所以平面 PDAQ平面 ABCD,交线是 AD。 又四边形 ABCD 是正方形，DCAD,所以 DC平面 PDAQ，可得 PQDC。 用心 爱心 专心19 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ=PD，则 PQQD. 2 2 所以 PQ平面 PCQ. 35.(2011(2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 19)19)（本小题满分 13 分） 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，ABCDEFGABEDAGFDOAD ,，都是正三角1,2,OAODOABVOACODEODF 形。 （）证明直线；BCEF （II）求棱锥 F-OBED 的体积。 【命题意图】：本题考察空间直线与直线，直线与平面，平面与平 面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考察空间 想象能力，推理论证能力和运算求解能力。 （1） 【证法一】： 同理可证AOBODE Q/ /OBDE/ /OCDF ， / /OBCDEF面面/ /BCDEF面 EFDEFBEFC 面面QI/ /BCEF 【证法二】：设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点，AOBODE Q OBDE OGOD 同理设是线段 DA 与 FC 延长线的交点，有，又 G 与都在线段 DA G OGOD G 的延长线上，所以 G 与重合。 G 又 和 ,可知 B 和 C 分别是线段 GE 和 GF 的中点，OBDE OCDF 用心 爱心 专心20 / /BCEF （2） 【解析】：由 OB=1，OE=2，,得，而EOB sin EOB S V 是边长为 2 的正三角形，故，所以OEDV OBEDOBEOED SSS VV 过点 F 作 FQDG，交 DG 于 Q 点，由于平面 ABED平面 ACFD，所以 FQ平面 ABED 所以 FQ 就是棱锥 F-OBED 的高，且,所以FQ F OBEDOBED VSFQ 【解题指导】：空间线线、线面、面面位置关系的证明方法，一是要从其上位或下位证 明，本题的第一问方法一，是从其上位先证明面面平行，再借助面面平行的性质得到线面 平行，再借助线面平行的性质得到线线平行；二是借助中位线定理等直接得到；三是借助 空间向量直接证明。 求不规则的几何体体积或表面积，通常采用分割或补齐成规则几何体即可。求解过程要 坚持“一找二证三求”的顺序和原则防止出错。 36.（20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 20)20) (本小题满分 12 分)(注意：在试题 卷上作答无效) 如图，四棱锥中，,，侧面为等SABCD/ABCDBCCDSAB 边三角形，.2,1ABBCCDSD （）证明：;SDSAB 平面 （)求与平面所成角的大小.ABSBC 【解析】 （）：连结 BD 过 D 作,DEABEBEDC于则为正方形 ，在2,1BEDEAEABBEAE又 22 125Rt AEDDE 2 中, AD = AE ，在2SABSASBAB为等边三角形, 2222 5,215SADSASD 2 中, AD D C BA S 用心 爱心 专心21 ，同理可证 222 ADSASDSDSA即,SDSBSASBS即又 SDSAB 平面,SDSBSASBS即又SDSAB 平面 （）过做平面，如图建立空间直角坐DDz ABCD 标系，Dxyz(2, 1,0), (2,1,0),AB 13 (0,1,0), ( ,0,) 22 CS 可计算平面的一个法向量是，SBC(0, 3,2)n =AB (0,2,0) 所以与平面所成角为 |2 321 |cos,|. 7|2 7 AB n AB n AB n A ABSBC 21 arccos. 7 37 （20112011 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 20)20)（本小题满分 12 分， （）小问 6 分， （）小问 6 分） 如题（20）图，在四面体ABCD中，平面 ABC平面ACD， ,2,1ABBC ACADBCCD （）求四面体 ABCD 的体积； （）求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值。 解法一：（I）如答（20）图 1，过 D 作 DFAC 垂足为 F， 故由平面 ABC平面 ACD，知 DF平面 ABC，即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高，设 G 为边 CD 的中点， 则由 AC=AD，知 AGCD，从而 z y x 用心 爱心 专心22 2222 115 2( ). 22 1115 . 224 AGACCG AG CD AC DFCD AGDF AC 由得 由 22 13 ,3,. 22 ABC Rt ABCABACBCSAB BC 中 故四面体 ABCD 的体积 15 . 38 ABC VSDF 解法二：（I）如答（20）图 2，设 O 是 AC 的中点，过 O 作 OHAC，交 AB 于 H， 过 O 作 OMAC，交 AD 于 M，由平面 ABC平面 ACD，知 OHOM。因此以 O 为原点，以 射线 OH，OC，OM 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，可建立空间坐标系 Oxyz.已知 AC=2，故点 A，C 的坐标分别为 A（0，1，0） ，C（0，1，0） 。 设点 B 的坐标为，有 11 (,0),| 1B x yABBCBC 由 22 11 22 11 11 11 1, (1)1, 33 , 22 (). 11 , 22 xy xy xx yy 解得舍去 即点 B 的坐标为 3 1 (,0). 22 B 又设点 D 的坐标为有 22 (0,),| 1,|2,DyzCDAD 由 用心 爱心 专心23 22 22 22 22 22 22 (1)1, (1)4, 33 , 44 (). 1515 , 44 yz yz yy zz 解得舍去 即点 D 的坐标为从而ACD 边 AC 上的高为 315 (0,). 44 D 2 15 |. 4 hz 又 22 31 |( )(1)3,| 1. 22 ABBC 故四面体 ABCD 的体积 115 | |. 328 VABBC h 用心 爱心 专心24 即二面角 CABD 的平面角的正切值为 2 15 . 7 20102010 年高考试题年高考试题 20102010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编立体几何立体几何 （20102010 陕西文数）陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积是B （A）2（B）1 （C）（D） 2 3 1 3 解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱 所以其体积为1221 2 1 （20102010 辽宁文数）辽宁文数） （11）已知是球表面上的点，, , ,S A B COSAABC 平面 ，则球的表面积等于ABBC1SAAB2BC O （A）4 （B）3 （C）2 （D） 解析：选 A.由已知，球的直径为，表面积为O22RSC 2 44 .R （20102010 全国卷全国卷 2 2 文数）文数） （11）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的 距离相等的点 （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 【解析解析】D】D：本题考查了空间想象能力：本题考查了空间想象能力 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上， 三个圆柱面有无数个交点，三个圆柱面有无数个交点， （20102010 全国卷全国卷 2 2 文数）文数） （8）已知三棱锥中，底面为边长等于 2 的等边三角SABCABC 2 2 1 用心 爱心 专心25 形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为SAABCSAABSBC （A） (B) 3 4 5 4 (C) (D) 7 4 3 4 【解析解析】D】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。 过过 A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于 E E，连结，连结 SESE，过，过 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 SESE 交交 SESE 于于 F F，连，连 BFBF，正三角形正三角形 ABCABC， E E 为为 BCBC 中点，中点， BCAEBCAE，SABCSABC， BCBC面面 SAESAE， BCAFBCAF，AFSEAFSE， AFAF 面面 SBCSBC，ABFABF 为直线为直线 ABAB 与面与面 SBCSBC 所成角，由正三角形边长所成角，由正三角形边长 3 3， ，AS=3AS=3， SE=SE=，AF=AF=， 3AE 2 3 3 2 3 sin 4 ABF （20102010 安徽文数）安徽文数） （9）一个几何体的三视图如图，该几 何体的表面积是 （A）372 （B）360 （C）292 （D）280 9.B 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等 于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。 .2(10 8 10 28 2)2(6 88 2)360S 【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体 的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积 加上面长方体的 4 个侧面积之和。 （2010 重庆文数） （9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 （A）只有 1 个 （B）恰有 3 个 （C）恰有 4 个 （D）有无穷多个 解析：放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、 1 OO HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等， 所以排除 A、B、C，选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离相等 A B C S E F 用心 爱心 专心26 （20102010 浙江文数）浙江文数） （8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 （A）cm3 352 3 （B）cm3 320 3 （C）cm3 224 3 （D）cm3 160 3 解析：选 B，本题主要考察了对三视图所表达示的空 间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题 （20102010 山东文数）山东文数）(4)在空间，下列命题正确的是 A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 答案：D （20102010 北京文数）北京文数） （8）如图，正方体的棱长 1111 ABCD-A B C D 为 2， 动点 E、F 在棱上。点 Q 是 CD 的中点，动点 11 A B P 在棱 AD 上，若 EF=1，DP=x，E=y(x,y 大于零)， 1 A 则三棱锥 P-EFQ 的体积： （A）与 x，y 都有关； （B）与 x，y 都无关； （C）与 x 有关，与 y 无关； （D）与 y 有关，与 x 无关； 答案：C （20102010 北京文数）北京文数）（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该 集合体的俯视图为： 用心 爱心 专心27 答案：C 6D （20102010 广东文数）广东文数） （20102010 福建文数