六年级奥林匹克数学十七 容斥原理（一）

十七、宽容的原则(1)1.一个班有45名小学生。据统计，班上有：名学生借了语文或数学课外书籍。39人借了语文课外书籍，32人借了数学课外书籍。语文和数学课外书籍都有借书的人。2.有一个长8厘米、宽6厘米的长方形和一个边长5厘米的正方形。如图所示，它被放置在桌面上(阴影是图形的重叠部分)，那么两个图形覆盖的区域是平方厘米。865433.在1100的自然数中，有5个倍数或7个倍数。4.一个地区有100名外语教师懂英语或俄语，其中75名懂英语，20名懂英语和俄语，所以懂俄语的教师是人。61班有46名学生，其中17名会骑自行车，14名会游泳，4名既会骑自行车又会游泳，还有一些既不会骑自行车也不会游泳。6.从1到10000的总数不能被5或7整除。7.1到10000之间的整数既不是完整的平方数，也不是完整的立方数。8.一个班共有30名男生，其中20名在足球队，12名在蓝队，10名在排球队。众所周知，没有人同时在三个队里，而且每个队至少在一个队里。足球队和蓝队都有6名队员，蓝队和排球队都有2名队员，所以足球队和排球队都有人。9.分母为1001的最小真分数有一个。10.在这100名学生中，有56名音乐爱好者和75名体育爱好者，所以至少和大多数人都热爱音乐和体育。11.有50人在进修。有38人参加了甲、乙、丙三个进修课程，38人参加了甲课程，35人参加了乙课程，31人参加了丙课程，29人同时参加了甲、乙两个课程，28人同时参加了甲、丙两个课程，26人同时参加了乙、丙两个课程，24人同时参加了甲、乙、丙两个课程。请问有多少人没有参加这三个课程？12.找出所有小于1001的自然数和与1001的互质。13.如图所示，A、B和C代表三张不同形状的纸，面积分别为8、9和11。它们重叠覆盖的面积是18，A和B、B和C、C和A的公共部分的面积分别是5、3和4。计算A、B和c的公共部分(阴影部分)的面积ABC14.分母是有多少最简单的真分数是385，并找出这些真分数的和。十七、宽容的原则(1)(答案)对问题的回答1:26从图中可以看出，全班有45人，借阅语文或数学课外书籍的总人数为39.32人=71人，超过了71-45班的总人数=26人。这26个人借了语文和数学课外书籍。一共45个人中国的数学3239对问题的回答2:67如果将矩形和正方形区域相加，图形的阴影部分(即三角形区域)将再次计算，即两个图形覆盖的面积为(平方厘米)。对问题的回答3:32在100个从1到100的自然数中，有20个5的倍数和14个7的倍数，它们都是5的倍数和7的2倍。因此，5或7的倍数是214-2=32。对问题的回答4:45从图中可以看出，33，360名懂俄语的人(即阴影部分)等于总人数减去只懂英语的人数，即100-(75-20)=45(人)2075英语俄罗斯对问题的回答5:19申请人数=班级人数-(骑自行车者和游泳者人数-骑自行车者和游泳者人数)=46-(17 14-4)=19(人)会游泳豪华汽车全班同学。对问题的回答6:6857.从1到10000，有(a)可被5整除，(a)可被7整除，和(a)可被35整除。因此，有2000 1428-285=3143 (a)可被5或7整除。因此，有10000-3143=6857(件)不能被5或7整除。对问题的回答7:9883.从1到10000，有100个完整的正方形(因为1002=10000)，21个完整的立方体(因为21310000223)，和4个完整的六元组(因为461000056)。因此，在110000的范围内，有完全平方数或完全立方数的总数100 21-4=117(件)；因此，既不是完全平方数也不是完全立方数的数是10000-117=9883 (pcs)。对问题的回答8:410122062x排球赛从1到1001，有7的倍数。有11和13的倍数。有711=77的倍数，713=91的倍数，1113=143的倍数和1001的倍数。从包含-排除原理可知，在1-1001中有(43 91 7)-(13 11 7) 1=281(数)可被7、11或13整除，所以有1001-281=720(数)可被7、11或13整除。换句话说，有720个分母为1001的最简单分数。对问题的回答10:31，56如图所示，当100人是音乐爱好者或体育爱好者时，同时热爱两者的最小人数是56 75-100=31。当所有的音乐爱好者都是音乐爱好者时，同时热爱两者的人数最多可达56人。音乐迷运动迷对问题的回答11:如图所示，a=29-24=5(人)选择甲方和乙方，但不选择丙方，b=28-选择甲方和丙方，但不选择乙方ABC24abcde24=4(人)，c=26-24=2(人)选择乙方和丙方，但不选择甲方，d=35-24-a-c=4(人)只选择丁方，e=31-24-b-c=1(人)只选择丙方。因此，少选择一个科目的人数是：A，丁，丙，戊=45(人)，所以没有选择三个科目的人数是50-45=5(人)。对问题的回答12:从问题9的结论可知，分母为1001的最简单分数的个数是720。此外，真分数和真分数(A和1001是互质)成对出现，所以720个真分数可以被分成360对，并且每对=数的和是1，所以720个分母的和是1001个真分数的和是360。所以所有小于1001的数与1001的互质之和是3600101=360360。对问题的回答13:让阴影部分的面积为x，由公差和排斥原理可知。28-(5 3 4) x=18，所以x=2。对问题的回答14:因为385=5711，在从1到385的385个自然数中，5的倍数是(数字)、7(数字)、11(数字)、57=35(数字)、511=55(数字)、711=77(数字)、385(数字)。根据包含和排除原理，1385中可被5、7或11整除的数是77 55 35-(11 7 5) 1=145(数)，而5、7和11之间的互质数是385-145