2.2.1直接证明.pptx

第2课时用数学归纳法证明不等式,第2章2.3数学归纳法,学习目标1.学会用数学归纳法证明不等式的过程.2.体会变形和放缩法在证明过程中的应用.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,一般地，对于某些与有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当n取第一个值时结论正确；(2)假设当_时成立，证明当时结论也正确.那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.,正整数,n0,nk1,nk(kN*，且kn0),题型探究,证明,类型一利用数学归纳法证明不等式,故左边右边，不等式成立.假设当nk(k2，kN*)时，命题成立，,则当nk1时，,方法一(分析法),只需证(3k2)(3k3)(3k1)(3k3)(3k1)(3k2)3(3k1)(3k2)0，,只需证(9k215k6)(9k212k3)(9k29k2)(27k227k6)0，只需证9k50，显然成立.所以当nk1时，不等式也成立.方法二(放缩法),所以当nk1时，不等式也成立.由可知，原不等式对一切n2，nN*均成立.,用数学归纳法证明不等式的四个关键点(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.,反思与感悟,(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.,跟踪训练1在数列an中，已知a1a(a2)，an1(nN*)，用数学归纳法证明：an2(nN*).,证明,证明当n1时，a1a2，命题成立；,当nk1时，命题也成立.由得，对任意正整数n，都有an2.,假设当nk(kN*)时，命题成立，即ak2，,类型二猜想并证明不等式,解答,所以取a25.,当n1时，已证结论正确.,即当nk1时，结论也成立.,故a的最大值为25.,(1)通过观察，判断，猜想出结论，这是探索的关键.(2)在用数学归纳法证明命题时，注意验证起始值.,反思与感悟,跟踪训练2设数列an满足an1nan1，n1,2,3，.(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式.,解答,由此猜想an的一个通项公式为ann1(n1，nN*).,(2)当a13时，证明对所有的n1，nN*，有ann2.,证明当n1时，a1312，不等式成立.假设当nk(k1，nN*)时，不等式成立，即akk2，那么当nk1时，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3.即当nk1时，ak1(k1)2.由可知，对任意的n1，nN*，都有ann2.,证明,当堂训练,答案,2,3,4,1,2.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立，那么，下列命题成立的是_.(填序号)若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立；若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立；若f(7)12，不等式显然成立.(2)假设当nk(kN*)时不等式成立，即2kk2.那么，当nk1时，2k122k2k2kk2k2k22k1(k1)2.即当nk1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知对任意nN*不等式都成立.其中错误的步骤为_.(填序号),2,3,4,1,答案,解析,(2),解析在2k122k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，这是一个不确定的结论.如k2时，k22k1.,2,3,4,1,答案,解析,成立，那么当nk1时，只需证明_即可.,2,3,4,1,规律与方法,1.nk1时式子的项数，特别是寻找nk与nk1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错.因此对nk与nk1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.2.“假设nk(k1)时命题成立，利用这一假设证明nk1时命题成立”，这是应用数学归纳