数学简单几何体人教

高考数学专题复习 简单几何体 教学要求： 1. 了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 2. 了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 3. 了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 4. 了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积公式、体积公式。 知识串讲（一）知识网络（二）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体） 长方体的性质 体对角线BD1与B点出发的三条棱的成角分别为、，与三个面的成角分别为、，则 （三）棱锥（底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的多面体） 正棱锥的性质 （四）球（半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球） 球内接长方体的对角线长等于球的直径 （五）体积：等底面积等高的两个锥体的体积相等 应用举例1. 正四面体的内切球与外接球的半径之比： r：R1：3 设r、R分别为正四面体的内切球和外接球半径 2. 正三棱锥每条棱都相等（如图） （答案：2：7） 【典型例题】 例1. 取棱长为a的正方体的一个顶点，过此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体： 有12个顶点 有24条棱 有12个面 表面积为3a2 以上结论正确的是_（要求填上所有正确结论的序号） 解析：画图分析 正方体每个顶点被截去后，各棱的中点都变为多面体的顶点，共12个顶点；每个截面都是正三角形，这样的三角形共8个，则多面体共有24条棱；除了8个截面外，正方体原有的6个面仍是多面体的面，故共8614个面 多面体的表面积为： 体积为： 从而、是正确的结论 例2. 如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干，现将容器放倒，把一个侧面作为底，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为_ 解析：设正三棱柱的底面积为S，将图乙竖起来得图丙，则 设图甲中水面的高度为x，则 例3. 如图，三棱锥PABC的高PO8，ACBC3，ACB30，M、N分别在BC和PO上，且CMx，PN2x（x（0，3），下列四个图象大致描绘了三棱锥NAMC的体积V与x的变化关系，其中正确的是 解析： 故选择A 例4. 正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为x，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值f(x)与x间的函数关系是f(x)_ 解析：设侧棱长为1，设O为底面正方形的中心，则SO底面ABCD，则SAO为侧棱与底面成角 作AESB于E，连CE，则AEC为相邻两侧面所成的二面角 在侧面等腰SAB中，有 在AEC中，由余弦定理得 例5. 在正三棱锥SABC中，ASB40，M，N分别是SB、SC上的点，若SA3cm，则AMMNNA的最小值是_ 解析：将正三棱锥SABC沿SA展开，展开图中： 例6. 设长方体的三条棱长分别为a，b，c，若长方体所有棱长的和为24，一条对角 解析： 例7. 一个广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个长半轴为5m的椭圆（如图），则制作这个广告气球至少需要多少面料？ 解：如图过椭圆中心O作光线AC的垂线，B为垂足，则AOB，又椭圆的长半轴为5，则气球的半径 因此制作这个广告气球至少需要100cos2（m2）面料。 例8. 已知正六棱柱最长的对角线长等于13cm，侧面积是180cm2，求这个正六棱柱的体积。 解：设正六棱柱的底面边长为acm，高为hcm，由题意有 注意：运用列方程组的方法解立几问题。 例9. 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD和侧面BCC1B1都是正方形，且二面角B1BCA60，M、N分别在面对角线AC、BC1上，且AMBN （1）求证：MN/侧面DCC1D1； 解：（1）过N作NPBC于P，连结MP BCC1B1为正方形 NP/CC1，NP/平面DCC1D1 ACBC1，AMBN MP/平面DCC1D1 平面MNP/平面DCC1D1 由（1）NPBC，MPBC MPN为二面角B1BCA的平面角 MPN60 又平行六面体的高为B1到平面ABCD的距离 说明：（1）用构造平面的方法将证明直线和平面平行转化为证两个平面平行。 （2）将正方形的边长作为未知量，利用余弦定理建立等量关系求解，这是方程思想的运用。例10. 如图，三棱锥PABC中，PAPBPCa，PAPB，PAPC，当三棱锥体积最大时 （1）求三棱锥顶点P到底面ABC的距离； （2）求二面角PBCA的余弦值 解：（思考：要体积V最大，只要哪个量最大？） （1）PAPB，PAPC PA面PBC 当BPC90“”成立 设PO底面ABC于O （2）由条件可知PABC为正三棱锥，则O为ABC中心，连AO并延长交BC于H，则H为BC中点 AHBC，连PH，则PHBC 例11. 过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA，MB，MC （1）求证：MA2MB2MC2为定值； （2）求三棱锥MABC的体积的最大值。 解：（1）设MA，MB确定一个平面截得小圆面AMB AMCM，BMCM，AMBM CM小圆面及AB为小圆直径 设O为球心，O为小圆圆心 作小圆直径MOD 面CMD小圆面，又MD为小圆直径 面CMD为大圆面 又CMMD，CD为球的直径，CD过球心O 当且仅当MAMBMC时“”成立 例12. 把地球看作半径为R的球，A、B是北纬度圈上的两点，它们的经度差为度，求A、B两点间的球面距离。 （分析：只要求AOB的弧度数） 解：度的纬（度）线圈所在小圆的圆心为O1，半径为r，则 例13. 已知正三棱柱ABCA1B1C1所有的棱长都为2，E是A1B的中点，F在棱CC1上。 （1）当C1F1/2CF时，求多面体ABCFA1的体积； （2）当点F使A1FBF为最小时，求异面直线AE与A1F所成的角。 解： 又四棱锥BAA1FC的高等于B到平面AA1CC1的距离，即为正三角形ABC的高 （2）将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1，连结A1B交CC1于点F，此时点F使A1FBF为最小 F为C1C的中点 取BF中点G，连结EG，又E为A1B中点 则AEG（或其补角）为AE与A1F所成的角 由余弦定理得 AEG90，故异面直线AE与A1F所成的角为90。 说明：空间图形求表面上折线最小时，往往要把某些需要的侧面展开“铺”在平面上，根据“平面几何中连结两点的线中线段最短”的方法来解决。【模拟试题】一. 选择题 1. 设有三个命题： 甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 乙：底面是矩形的平行六面体是长方体； 丙：直四棱柱是直平行六面体 其中真命题的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 2. 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个四面体的5条棱长都是2，则它的体积的最大值为（ ） A. B. C. 1D. 2 4. 斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为1，则斜三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. 3D. 5. 已知北纬45线上有A、B两地，且A地在东经30线上，B地在东经120线上，设地球半径为R千米，则时速为20千米/小时的轮船从A地到B地需要最少时间（单位小时）是（ ） A. B. C. D. 二. 填空题 6. 正六棱柱的高为5cm，最长的对角线为13cm，则它的侧面积为_，体积为_。 7. 将正方体截下一个角，截得三个面的面积分别为3cm2，4cm2，12cm2，截面面积为S，则S_ 8. 在同一桌面上，有四个半径为R的球，它们两两相切，则放在上面的球的球心到桌面的距离为_。 9. 球面上有四个点，P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPCa，则该球的表面积为_。三. 解答题 10. 棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，侧面PBC，PDC与底面均成45角，M、N分别为BC，CD的中点，最长的侧棱为15cm。求： （1）棱锥的高； （2）底面中心O到平面PMN的距离。 11. 球O的球面上有三点A、B、C，BC5cm，过A、B、C三点作球O的截面，球心到截面的距离为12cm （1）求截面的面积 （2）求球的体积 12. 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，A1A8，E为CC1中点，O1为下底面正方形的中心，求： （1）二面角CABO1的正切值； （2）异面直线AB与EO1所成角的正切值； （3）三棱锥O1ABE的体积参考答案一. 1. B2. D3. C4. B5. D二. 6. 180cm2， 7. 13 8. 9. 三. 10. 解：（1）设高为h PA底面ABCD，hPA 又ABBC，PBBC PBA为侧面PBC与底面ABCD所成的角，且PBA45 又PC15 （2） 面PAQ 又MN/BD， 又面PMN 面，PQ为交线 过O作于H，则面PMN 则OH即为所求 在RtPAQ中 ， 由 11. 分析：球的截面一定是个圆，此圆为ABC的外接圆，知ABC的一边及其对角用正弦定理即可求得截面半