3.1.3空间向量的数量积运算.ppt

,3.1.3空间向量的数量积运算,根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.,回顾平面向量数量积的定义,已知两个非零向量,则叫做的数量积，记作,即,A,B,向量的夹角：,B,3.1.3空间向量的数量积运算,O,B,A,空间向量的夹角,共同的起点,空间向量数量积的定义,已知空间两个非零向量,则叫做的数量积，记作,即,注意:两个向量的数量积是数量，而不是向量.规定:零向量与任意向量的数量积等于零.,同向,反向,垂直,性质,空间两个向量的数量积的性质,(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质.(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是用来求两个向量的夹角(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据,判断下列命题是否正确：,运算律,4)空间向量的数量积满足的运算律,注意：,思考,1.下列命题成立吗?若,则若,则,应用,由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借助向量的数量积运算来解决.(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过求向量的模得到.,典型例题,例1在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.,分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！,证明：,如图,已知:,求证：,在直线l上取向量,只要证,为,逆命题成立吗?,分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.,分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.,例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果m,n,求证:.,m,n,取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?,共面向量定理,例2:已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果m,n,求证:.,解：,例3如图，已知线段在平面内，线段，线段，线段，如果，求、之间的距离。,解：由，可知.由知.,应用3，空间向量夹角与两异面直线所成的角,例2.已知点O是正ABC平面外一点，若OA=OB=OC=AB=1，E、F分别是AB、OC的中点，求OE与BF所成角的余弦值,O,A,B,C,E,F,应用2，空间向量数量积与线段的长度,应用三，空间向量数量积与线段的长度,例3.平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=900，将它沿对角线AC折起使得AB与CD所成的角为600，求线段BD的长度。,已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PMQN,证明：,练习4,空间向量数量积可以解决的立体几何问题：,3）向量的夹角（两异面直线所成的角）；,2）证明垂直问题；,1）线段的长（两点间的距离）；,，也就是说,已知点O是正ABC平面外一点，若OA=OB=OC=AB=1，E、F分别是AB、OC的中点，用向量法解决下列问题：(1)计算；(2)求OE与BF所成角的余弦值；(3)证明；(4)求EF的距离.,O,A,