运用曲线系解曲线方程问题辅导不分本

用曲线系统求解曲线方程的问题张宽锁在解析几何中，求曲线方程式的问题，多用未定系数法解，但是采用这种方法的话未知数多，求方程式很麻烦，需要分类讨论，有更简单的方法吗？ 现就曲线系方程的应用进行阐述。引入：高中数学的第2卷(上面) P88第4个问题点求出，如果两个曲线方程式为f1(x，y)=0和f2(x，y)=0，则它们的交点为P(x0，y0)，方程式f1(x，y) f2(x，y)=0的曲线也通过点P(为任意常数)。 根据该结论，穿过两条曲线f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交点的曲线系统方程式为f1(x，y) f2(x，y)=0。 利用该结论，可以得到相关曲线系方程。1 .直线系统概念：具有某个共同属性的直线集合称为直线系。 那个方程式被称为直线系方程式。 一些常见的线性方程式：(1)超过已知点P(x0，y0)的直线系方程式y-y0=k(x-x0)(k为参数)(2)斜率k的直线系方程式y=kx b(b为参数)(3)与已知的直线Ax By C=0平行的直线系方程式Ax By =0(为参数)(4)垂直于已知直线Ax By C=0的直线系方程Bx-Ay =0(为参数)(5)通过直线l1:A1x B1y C1=0和l2:A2x B2y C2=0交点的直线系方程式：A1x B1y C1 (A2x B2y C2)=0(为参数)【例1】求出已知直线l1:x y 2=0和l2:2x-3y-3=0，在通过的交点求出与已知直线3x y-1=0平行的直线l的方程式。解：把直线l的方程式2x-3y-3 (x y 2)=0。( 2)x (-3) 2-3=0。l与直线3x y-1=0平行222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡解：=。直线l的方程式为15x 5y 16=0【例2】求证： m为任意实数时，直线(m-1)x (2m-1)y=m-5将一定点p设为一定，求p点坐标。解析：由于直线与m的实数无关，定点一定，因此该定点必定是直线系的任意两条直线的交点。解：由原方程式得出m(x 2y-1)-(x y-5)=0，也就是说直线通过定点P(9，-4)注：方程可以看作是通过两条直线交点的直线系统。二.日元系概念：具有某个共同属性的圆的集合称为圆系。一些常见的圆系方程式：(1)同心圆系统： (x-x0)2 (y-y0)2=r2，x0，y0为常数，r为参数。(2)过两个已知圆C1:f1(x，y)=x2 y2 D1x E1y F1=0。C2:f2(x，y)=x2 y2 D2x E2y F2=0交点的圆系方程式x2 y2 d1x e1y f1(x2 y2 d2x e2y F2 )=0(=-1 )=-1时，(D1-D2)x (E1-E2)y F1-F2=0代表两个圆的交点的直线。其中，两个圆相交时，该直线表示具有公共弦的直线，两个圆相切时，该直线表示两个圆的公共切线，两个圆分开时，该直线表示与两个圆的中心线垂直的直线。(3)通过直线与圆的交点的圆系方程式：如果直线L:Ax By C=0与圆C:x2 y2 Dx Ey F=0相交，则穿过直线l与圆c的交点的圆系方程式为x2 y2 Dx Ey F (Ax By C)=0。【例3】高中数学第2卷(上面) P82第8问题是求出通过2日元x2 y2 6x-4=0和x2 y2 6y-28=0的交点、中心位于直线x-y-4=0以上的圆的方程式。从解： (2)求出的圆的方程式设为x2 y2 6x-4 (x2 y2 6y-28)=0。也就是说，(1 )x2 (1 )y2 6x 6y-(4 28)=0。其中心为()，另外，该中心位于直线x-y-4=0以上也就是说，=-7。求出的圆方程式为x2 y2-x 7y-32=0。【例4】高中数学第2卷(上) p82第9题是求出通过两条曲线x2 y2 3x-y=0 和3x2 3y2 2x y=0 交点的直线方程式。分析：该问题的一般方法是联立解方程得到交点坐标，用两点式写直线方程。 (2)使用中国方面的法则非常简单。解：先化为圆的通式方程式：、-中得到：也就是说，7x-4y=0。 这是求得的直线方程式。【例5】求出直线2x y 4=0与圆的交点，求出通过原点的圆方程式。解：根据(3)，求出的圆的方程式如下的双曲馀弦值。即，由于超过原点，因此1 4=0，增益=。求圆的方程式如下所示。3 .椭圆系(1)椭圆(半焦距c )和共焦点的椭圆系方程式： (c2)(2)具有与椭圆相同离心率的椭圆系方程式为(0)。【例6】求通过点(2，-3)，求出与椭圆9x2 4y2=36具有共同焦点的椭圆方程式。解：因为已知椭圆的焦点在y轴上，c2=5求出椭圆方程式可以如下所示另外，通过点(2，-3)代入方程式时，为=10或=-2 (截断)【例7】求出以与椭圆相同的离心率通过点(2、- )的椭圆的标准方程式。解：从问题意义出发，设求出的椭圆方程式为的双曲馀弦值。椭圆超过了点(2、- )。所以求出的椭圆方程式。三.双曲线系统(1)与双曲线对焦的双曲线系方程式：=1(0c2=)(2)双曲线和共渐近线的双曲线系统方程式为(0 )(3)等轴双曲线系方程式为x2-y2=(0 )【例8】求出以双曲线和渐近线通过点a ()的双曲线方程式。分析：一般解法是分类讨论，需求解方程。利用(2)，运算变得简单。解：求出的双曲线方程式如下(0 )由于超过a () )所以。求双曲线方程也就是说。后述：即使应用曲线系方程式，当时也不起作用。【例9】求出以圆x2 y2=5和抛物线y2=4x的共同弦为直径的圆的方程式。分析：一般解法如下：由得到圆方程： (x-1)2 y2=4如果用曲线系方程式来考虑的话，方程式是(x2 y2-5) (y2-4x)=0(* )即x2 (1 )y2-4x-5=0。=0时为圆方程式，明显是已知的圆，不是求出的圆。错误的原因分析：从已知的两个曲线方程得到方程(* )，方程(* )是已知的两条曲线的交点的曲线，但方程(*