暑假三角函数的图象和性质苏教

暑假专题 三角函数的图象和性质一. 本周教学内容：暑假专题三角函数的图象和性质二、本周教学目标：（1）会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数y=sinx，正切函数y=tanx的图象，并在此基础上根据诱导公式画出余弦函数y=cosx的图象；理解周期函数的定义。并通过它们的图象理解并掌握正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx的性质。（2）会用“五点法”画出正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx、函数y=Asin（x+）的简图，并理解A、的物理意义。（3）会根据y=sinx的基本性质，讨论y=Asin（x+）的性质。三、本周知识要点：（一）知识系统及其结构：（二）基本概念及相关知识点：1、三角函数线：设单位圆圆心在原点，和横坐标的正方向OX交于A点，与角的终边交于P点，从P点作OX的垂线MP，垂足为M。sinMP（正弦线），cosOM（余弦线），tanAT（正切线）。有向线段MP，OM，AT，统称三角函数线。2、三角函数图象的作法：（1）几何法：利用单位圆中的三角函数线，作出各三角函数的图象，以正弦函数为例，具体作法如下：在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份。过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角0，2的正弦线。相应地，再把x轴上从到2这一段（26.28）分成12等份把角x的正弦线向右平移，使得正弦线的起点在x轴上，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了正弦函数ysinx（x0，2）的图象。（2）描点法及其特例五点作图法三角函数的图象亦可用通常作函数图象的描点法作出。对于正弦函数及余弦函数可用五点法作出简图。（3）利用图象变换作三角函数图象。三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等。由ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当A1）或缩短（当0A1到原来的A（A0且A1）倍，得到ysinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换。由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（01或缩短（1）到原来的（0且1）倍，得到ysinx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换。由ysinx的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0平行移动个单位，得到ysin（x）的图象，叫做相应变换或叫做沿x轴方向的平移。由ysinx的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当b0平行移动b个单位，得到ysinxb的图象叫做沿y轴方向的平移。由ysinx的图象变换到yAsinx（x）的图象，需要同时运用振幅变换、周期变换及相位变换，将由专门条目介绍。3、三角函数的图象：三角函数的图象从“形”的侧面反映了三角函数随自变量x变化而变化的规律，使抽象的三角函数性质转化为直观形象的图象。ysinxycosxytanx4、正弦函数的主要性质：（1）定义域是实数集R，记作ysinx，xR（2）值域是1，1，当且仅当x2k，kZ时取得最大值1，当且仅当x= 2k，kZ时取得最小值1；（3）周期性：正弦函数是周期函数，2k（kZ，且k0）是它的周期，最小正周期是2；（4）奇偶性：正弦函数是奇函数；（5）单调性：正弦函数在每一个闭区间2k，2k（kZ）上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k（kZ）上都是减函数，其值从1减小到1。5、余弦函数的主要性质：（1）定义域是实数集R，记作ycosx，xR；（2）值域是1，1，当且仅当x2k，kZ时取得最大值，当且仅当x（2k+1），kZ时取得最小值1；（3）余弦函数是周期函数，2k（kZ，且k0）是它的周期，最小正周期是2；（4）奇偶性：余弦函数是偶函数 （5）单调性：余弦函数在每一个闭区间（2k1），2k（kZ）上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，（2k1）（kZ）上都是减函数，其值从1减小到1。6、正切函数的主要性质：（1）定义域是x|x+k，kZ（2）值域是实数集R（3）周期性：正切函数是周期函数，周期是（4）奇偶性：正切函数是奇函数（5）单调性：正切函数在开区间（k，k），kZ内都是增函数。补充：正弦函数是以2为最小正周期的周期函数，每一条直线都是正弦曲线的一条对称轴；每一个点（k，0）都是正弦曲线的一个对称中心。余弦函数是以2为最小正周期的周期函数，每一条直线都是余弦曲线的一条对称轴；每一个点都是余弦曲线的一个对称中心。7、周期函数：对于函数yf（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一值时，f（xT）f（x）都成立，那么就把函数yf（x）叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期周期函数的周期不只一个，若T是周期，则2T，3T，T，都是周期，如果所有周期中存在一个最小正数，这个最小正数，叫做函数f（x）的最小正周期。8、函数yAsin（x）的图象：当函数yAsin（x）（A0，0），x0，表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做振动的振幅；往往振动一次所需要的时间T，叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数f，叫做振动的频率；x叫做相位，叫做初相（即当x0时的相位）。一般地，函数yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象可以看作用下面的方法得到：先把ysinx的图象上的所有的点向左（0）或向右（0）平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短（1）或伸长（01）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1到原来的A倍（横坐标不变）。若是先压缩后平移，此时平移的量为个单位。说明：三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。【典型例题】例1. 利用单位圆中的三角函数线证明：当时，。证明：任取，分别作出角x的正弦线CD及正切线AT。（见图01）根据SOADS扇形OADSOAT，即：，化简整理即得：。图01图02引伸：时，的几何意义是：函数y = sin x的图象位于直线y = x的下方。（见图02）。依据图形的对称性，我们不难得到：当时，y = sin x的图象位于直线：y = x的下方。例2. 求函数 xR的单调递增区间。解：令，函数y =2 sin t的单调递增区间是函数y = sin t的单调递减区间。由，即，解得：所求的单调递增区间是 。例3. 选择题要得到函数的图象，可以将函数y = 3 sin2 x的图象（ ）A. 沿x轴向左平移单位 B. 沿x轴向右平移单位C. 沿x轴向左平移单位 D. 沿x轴向右平移单位分析：我们知道，当a0时，把函数y = f （x）的图象沿x轴向右移a个单位，便得到函数y = f （xa）的图象，把函数f （x）的图象沿x轴向左平移a个单位，便得到函数y = f （xa）的图象。本题中与y = 3 sin 2x的对应法则不同，应当把它们变为“y = f （x）与y = f （xa）”的形式后，再讨论平移关系。因为我们关心的是对函数y = 3 sin 2x的图象平移，所以要把变形，变到y = 3 sin （2x）的形式。由正弦曲线和余弦曲线的关系，不难看出，把余弦曲线沿x轴向右平移，就得到正弦曲线，即是（这与诱导公式的结论是一致的）。利用这个关系，可以得到： 问题成为：把函数y = 3 sin 2x的图象沿x轴进行怎样的平移，可以得到函数 的图象？如果y = 3 sin 2x = f （x），那么。可见，把函数y = 3 sin 2x的图象向左移个单位后，可得到函数的图象，即得到函数的图象，因此选A。【模拟试题】一、选择题：1. 四个函数 y = sin x， y =cos x， y = tan x， y = cot x中，在区间（0，）上是增函数的有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 将函数y = sin x的图象向左平移个单位，再把（平移后的）的图象上每个点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到的图象的函数解析式为（ ）A. B. C. D. 3. 函数的一个增区间是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：4. 函数是最小正周期为 的函数。5. 在ABC中，如果tan A tan B1，则ABC的形状是 。三、解答题：6. 设函数f （x） = 3m cos x的值域为2，8，如果tan m0，求实数m的值。7. 求函数的定义域。8. 设函数f （x） = sin （x） （），给出以下四个论断： 它的图象关于直线对称； 它的图象关于点对称； 它的周期是； 它在区间上是增函数。以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出正确的两个命题，并对其中的一个命题加以证明。参考答案http:/www.DearEDU.com一、选择题1.