2.2圆的一般方程.ppt

2.2圆的一般方程,【课标要求】新课程标准:探索并掌握圆的一般方程,能用圆的一般方程解决一些简单的问题.,教学目标:1.掌握圆的一般方程及其特点.(重点)2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.(重点),3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程.(难点)4.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题.,【思维脉图】,【自主预习】1.圆的一般方程当D2+E2-4F0时,方程_称为圆的一般方程.,x2+y2+Dx+Ey+F=0,2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形,【思维辨析】(正确的打“”,错误的打“”)(1)圆x2+y2+ax-2ay=0过原点.()(2)圆x2+y2-Dx-Ey+F=0的圆心是.()(3)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程都表示圆.(),提示:(1).将原点坐标代入方程成立.(2).圆心坐标是.(3).形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程在满足D2+E2-4F0时,才表示圆.,【自主总结】1.对圆的一般方程的三点说明(1)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0具有以下特征:x2项和y2项的系数都相等,且为1;方程是二元二次方程且没有xy这样的二次项;参数D,E,F满足D2+E2-4F0.,(2)圆的标准方程明确地表示出了圆的圆心与半径,而一般方程则表现出了明显的代数结构形式,经过一定的代数运算才可以求出圆心与半径.,(3)二者可以互化:将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程.将圆的一般方程配方后即得标准方程.,2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则其位置关系如表:,提醒:圆的标准方程和一般方程是圆的两种不同的方程形式,没有本质区别,只是形式不同.,【自主检测】1.圆x2+y2-4x-1=0的圆心坐标及半径分别为()A.(2,0),5B.(2,0),C.(0,2),D.(2,2),5,【解析】选B.化为标准方程为(x-2)2+y2=5,所以圆心坐标为(2,0),半径为.,2.圆的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐标为()A.(1,-1)B.C.(-1,2)D.,【解析】选D.将圆的方程化为+(y+1)2=,即可得到圆心坐标为.,3.点(2,1)在圆x2+y2-2x+y+1=0的()A.内部B.外部C.圆上D.不确定【解析】选B.因为22+12-22+1+1=30,所以点(2,1)在圆的外部.,4.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是_.【解析】因为D2+E2-4F0,所以16+4-20k0,即k0,D2+E2-4F0,圆的标准方程,【解析】(1)由题意可知(-2)2+12-4k0,即k0来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意x2及y2的系数.,【变式训练】下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径.(1)x2+2y2-7x+5=0,(2)x2-xy+y2+3x+5y=0,(3)x2+y2-2x-4y+10=0,(4)-2x2-2y2+10y=0.,【解析】(1)由于x2,y2的系数不相等,故不表示圆.(2)由于该方程中含有xy这样的二次项,故不表示圆.(3)方程x2+y2-2x-4y+10=0可化为(x-1)2+(y-2)2=-5,显然不表示圆.(4)方程-2x2-2y2+10y=0可化为x2+,所以其可以表示以为圆心,以为半径的圆.,【拓展延伸】圆心、半径与系数的关系Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A0)表示圆,系数A,B,C,D,E,F应满足的条件及圆心和半径.(1)当B=0,A=C=1时,若D2+E2-4F0,才表示圆,圆心为半径为,(2)当B=0,A=C1时,若D2+E2-4AF0,才表示圆,圆心为半径为,【拓展训练】(2016浙江高考)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是_,半径是_.,【解析】由题意知a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,圆心为(-2,-4),半径为5,当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即+(y+1)2=-不表示圆.答案:(-2,-4)5,类型二求圆的一般方程【典例】已知点A(0,2),B(4,0),求过点A,B及原点O的圆的方程.世纪金榜导学号13136075,【思路导引】首先设出圆的_,由题意三点在圆上,得到关于D,E,F的_;也可以利用圆的_先确定圆心为_,进而确定圆的标准方程.,一般方程,方程组,几何,性质,AB的中点,【解析】方法一:设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为A,B,O在圆上,所以所以所求圆的方程是x2+y2-4x-2y=0.,方法二:设圆心为M,因为A,B,O构成直角三角形,其外接圆的圆心应在斜边的中点上.又A(0,2),B(4,0),所以M(2,1).又|AB|=,所以半径r=.所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5,故所求圆的一般方程为x2+y2-4x-2y=0.,【方法技巧】1.待定系数法求圆的方程的三个步骤(1)根据题意,选择标准方程或一般方程.(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组.(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.,2.圆的一般方程和标准方程的选择技巧(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再利用待定系数法求出D,E,F.,【变式训练】求经过两点A(4,2),B(-1,3),且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程.世纪金榜导学号13136076,【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,所以圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D;令x=0,得y2+Ey+F=0,所以圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E;由题设,x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2,所以D+E=-2.又A(4,2),B(-1,3)两点在圆上,所以16+4+4D+2E+F=0,1+9-D+3E+F=0,由可得D=-2,E=0,F=-12,故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.,【补偿训练】已知一个圆过P(4,2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.,【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.令x=0,得y2+Ey+F=0.由已知|y1-y2|=4,其中y1,y2是方程y2+Ey+F=0的两根,所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.将P,Q两点的坐标分别代入方程,得解联立的方程组,故圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-,类型三与圆有关的轨迹问题【典例】(1)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A.x2+y2=4B.x2-y2=4C.x2+y2=4(x2)D.x2-y2=4(x2),(2)已知O的方程为x2+y2=25,动弦AB的长为8,弦AB的中点P的轨迹方程为_.(3)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.世纪金榜导学号13136077,【思路导引】(1)由题意_,得两直线斜率之积为-1,得到点P的轨迹方程.(2)由题意得点P的轨迹为以_为圆心,_为半径的圆.(3)点M随点A运动而运动,将A点坐标用_两点坐标表示,再将A点坐标代入_,即得M点的轨迹方程.,PMPN,O,|OP|,B,M,圆的方程,【解析】(1)选C.设P(x,y),由条件知PMPN,且PM,PN的斜率肯定存在,故kMPkNP=-1,即x2+y2=4,又当P,M,N三点共线时,不能构成三角形,所以x2,即所求轨迹方程为x2+y2=4(x2).,(2)因为|OP|=所以点P的轨迹为以O为圆心,3为半径的圆,所以点P的轨迹方程为x2+y2=9.答案:x2+y2=9,(3)设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),由于点B的坐标是(4,3)且点M是线段AB的中点,所以于是有x0=2x-4,y0=2y-3.因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+=4,把代入,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得x2+y2-3x-3y+=0.所以点M的轨迹方程是x2+y2-3x-3y+=0.,【解题流程】用代入法求轨迹方程的一般步骤:,【方法技巧】求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法:根据题目条件,建立坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简、证明.(2)定义法:动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程.,(3)代入法:若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1)而运动,把x1,y1用x,y表示,再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程.,【变式训练】设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A,点P在圆上,则PA的中点M的轨迹方程是_.,【解析】设M(x,y),由已知圆心A(2,-1),则点P(2x-2,2y+1),将P代入圆的方程得:(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0,化简得x2+y2-4x+2y+1=0.答案:x2+y2-4x+2y+1=0,【补偿训练】已知点P(x,y),A(1,0),B(-1,1),且|PA|=|PB|.(1)求点P的轨迹方程.(2)点P的轨迹是否为圆?若是,求出圆心坐标及半径;若不是,请说明理由.,【解析】(1)由题意得两边同时平方,化简得x2+y2+6x-4y+3=0,即点P的轨迹方程为x2+y2+6x-4y+3=0.,(2)方法一:由(1)得(x+3)2+(y-2)2=10,故点P的轨迹是圆,其圆心坐标为(-3,2),半径为.,方法二:由(1)得D=6,E=-4,F=3,所以D2+E2-4F=36+16-12=400,