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中点的妙用,双流中学实验学校王亚莉,（一）中点有关联想归类,1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、倍长中线法；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”.,一、知识结构,（二）与中点问题有关的四大辅助线,1、出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3、出现三角形边上的中点，作中位线；4、出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”.,例1、如图1所示，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MNAC于点N，则MN等于（）.。A.B.C.D.,小结：等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质。,二、典例剖析,C,例2、如图2所示，正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A-B-C-D-A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按B-C-D-A-B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）.A.B.C.D.,方法小结：直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半。,B,例3、如图3所示，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？,方法小结：三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”。,G,变式训练：如图4所示，等腰梯形ABCD中，CD/AB，对角线AC、BD相交于点O，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点求证：SPQ是等边三角形,图4,例4、如图甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（CGBC）中，点B、C、G在同一直线上，M是AE的中点.（1）探究线段MD、MF的关系，并证明；（2）将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明,三、方法迁移,拓展延伸：已知：如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）
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